Analysis

Nach einführenden Bemerkungen über so unterschiedliche Stichpunkte wie Mengen, ganze und rationale Zahlen, Abbildungen und Relationen, historische Anmerkungen und Übungsaufgaben werden die für die Analysis unverzichtbaren reellen Zahlen axiomatisch, d.h. mittels der ihnen zugewiesenen Eigenschaften eingeführt. Neben den Körperaxiomen und dem Anordnungsaxiom betrifft dies hauptsächlich das Vollständigkeitsaxiom, dessen grundlegende Bedeutung aber erst im weiteren Verlauf sich erweisen kann. Zugleich werden einfache und doch fundamentale Beweistechniken an konkreten Beispielen erprobt, verschiedene Identitäten und Ungleichungen bewiesen sowie fortwährend benutzte Begriffe und Symbole eingeführt. Abgeschlossen wird das Kapitel mit einer kurzen Einführung der komplexen Zahlen, die frühzeitig immer wieder zum Einsatz kommen.

Im Zusammenhang mit Folgen und Reihen tritt zum ersten Mal der für die Analysis fundamentale und charakteristische Grenzwert oder Limes auf. Dieser im weiteren Verlauf in verschiedener Gestalt immer wieder auftretende Begriff wird ausführlich diskutiert und an vielen konkreten Beispielen erläutert. Dem besonders wichtigen Spezialfall der monotonen Folgen und ihrem Pendant, den positive Reihen wird besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Die Bedeutung dieser Reihen zeigt sich insbesondere im Abschnitt über Mehrfachreihen, der in die verschiedenen Versionen des Doppelreihensatzes mündet. Eingeschoben wird verschiedentlich die naheliegende Betrachtung komplexer Folgen und Reihen. Die angegebenen Beweise des Satzes von Bolzano-Weierstraß sowie eines Spezialfalls des Satzes von Heine-Borel lassen sich unmittelbar auf den n-dimensionale Fall übetragen. Das Kapitel wird abgeschlossen mit einigen historischen Bemerkungen über die Entwicklung des Reihenbegriffs, der in gewisser Weise natürlicher als der Folgenbegriff ist.

Am Beispiel der reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen wird der Grenzwertbegriff weiterentwickelt. Insbesondere werden die grundlegenden Eigenschaften stetiger Funktionen in diesem Fall hergeleitet und diskutiert. Zum ersten Mal taucht dabei die immer wiederkehrende Frage auf, unter welchen Umständen Grenzwertbildungen vertauscht werden dürfen. Dem in all seinen Ausprägungen als schwierig empfundenen Begriff der Gleichmäßigkeit wird besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Die elementaren Funktionen (Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus und Cosinus) werden mittels Potenzreihen bereits jetzt eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften hergeleitet, um zur Einübung der Begriffe und Erläuterung der Methoden und Sätze nichttriviale Beispiele zur Hand zu haben.

Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit der eindimensionalen Differentialrechnung bis zum Satz von Taylor und den üblichen Anwendungen, die unter dem Begriff ‘Kurvendiskussion’ zusammengefasst werden. Abgeschlossen wird das Kapitel mit einigen Bemerkungen zur ‘Technik des Integrierens’, wobei mit Integrieren die Bestimmung einer Stammfunktion gemeint ist, ein Thema, das mehr der Differential- als der Integralrechnung zuzurechnen ist.

Im vorliegenden Kapitel wird ein gewisser Abschluss der eindimensionalen Analysis erreicht. Das Riemann-Integral wird definiert und seine Eigenschaften werden bis zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hergeleitet. Die genaue Abgrenzung seines Gültigkeitsbereichs (‘fast überall stetig’), die üblicherweise Lebesgue zugeschrieben wird, gelingt mit der bereits von Riemann verwendeten Methode. Im Anschluss daran, aber immer noch in diesem Kapitel, wird das eindimensionale Lebesgue-Integral eingeführt und mit dem Riemann-Integral verglichen. Der Aufbau ist dabei so angelegt, dass er unmittelbar und ohne Änderung der Argumentation auf den mehrdimensionalen Fall, behandelt im Kapitel über das Lebesgue-Integral im $$\mathbb {R}^n$$ R n , übertragen werden kann. Damit wird auch der zuweilen aufkommenden Meinung entgegengetreten, das Riemann-Integral sei ein typisch eindimensionales, das Lebesgue-Integral aber ein mehrdimensionales Phänomen. Beschlossen wird dieses Kapitel mit einer kurzen Besprechung des Riemann-Stieltjes-Integrals und der Funktionen von endlicher Variation.

Eingeführt und behandelt werden im Rahmen der normierten und metrischen Räume die für den weiteren Verlauf wichtigen topologischen Grundbegriffe sowie, mehr oder weniger als Wiederholung des dritten Kapitels, die stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Den vollständigen, den kompakten und den zusammenhängenden metrischen Räumen und ihren stetigen Transformationen sind eigene Abschnitte gewidmet. Eine frühere, eventuell ökonomischere Behandlung der topologischen Grundbegriffe scheitert am Mangel vernünftiger nichttrivialer Beispiele, die dringend angesichts der abstrakten und vielfach der Vorstellung scheinbar widersprechenden Begriffe benötigt werden.

Dieses Kapitel kehrt zur Analysis zurück. Behandelt wird die mehrdimensionale Differentialrechnung bis hin zum Satz über implizite Funktionen und seinen Anwendungen, insbesondere der Behandlung des Problemkreises ‘Extrema unter Nebenbedingungen’. Dabei wird ausführlich vom Matrizenkalkül Gebrauch gemacht. Den Abschluss bildet ein Abschnitt über Kurvenintegrale und ein Beweis des Lemmas von Poincaré über die lokale Existenz von Stammfunktionen von Vektorfeldern. Der naheliegende Vergleich der Differenzierbarkeitsbegriffe für reelle 2-dimensionale Vektorfelder einerseits und komplexwertige Funktionen einer komplexen Veränderlichen andererseits führt unmittelbar zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und der lokalen Cauchyschen Integralformel, der Grundlage der Funktionentheorie.

Kapitel 9 behandelt die Theorie der Fourierreihen, der man überhaupt die Entwicklung des Integralbegriffs verdankt, sowie die Fouriertransformation. Die Anwendungen sind vielfältig und werden nur stichwortartig aufgeführt: Satz von Riesz-Fischer, isoperimetrische Ungleichung, Dirichletproblem in Kreisscheiben, Umkehrung der Fouriertransformation, Wärmeleitungsgleichung, Black-Scholes-Formel, Heisenbergsche Unschärferelation, Poissonsche Summenformel, Abtasttheorem von Shannon. Das Kapitel wird beschlossen mit einer kurzen Einführung in die Hilbertraumtheorie. Die Fourieranalysis kann einerseits als eine Wegbereiterin der Funktionalanalysis angesehen werden, und als ein Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen andererseits.

Das zehnte Kapitel beschäftigt sich im ersten Teil mit Flächen und Mannigfaltigkeiten und der Integration von Funktionen und Vektorfeldern über diese Objekte. Dies geschieht auch als Vorbereitung für den zweiten Teil, der im Wesentlichen in der Herleitung des Integralsatzes von Gauß-Ostrogradski besteht. In einem Anhang werden die Elemente der klassischen Differentialgeometrie im dreidimensionalen Raum und der Kartographie behandelt. Wie auch das vorige Kapitel deutet dieses in zwei Richtungen: Differentialgeometrie und partielle Differentialgleichungen.

Die gewöhnlichen Differentialgleichungen werden von den elementaren Integrationsmethoden über die grundlegenden Existenz- und Eindeutigkeitssätze von Peano, Picard-Lindelöf und Cauchy bis zu den Sätzen über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten behandelt. Ein Novum wohl selbst für Textbücher über gewöhnliche Differentialgleichung ist der Nachweis von Potenzreihenlösungen bei entsprechenden rechten Seiten mit Hilfe eines Satzes von Bernstein.

In Kapitel 12 werden, gestützt auf den bereits im siebten Kapitel en passant gefundenen lokalen Integralsatz von Cauchy und den darauf basierenden globalen Integralsatz, in schneller Abfolge die wichtigsten analytischen und geometrischen Eigenschaften der holomorphen Funktionen hergeleitet. Ein Novum für ein einführendes Analysisbuch (und selbst für einschlägige Bücher) bedeutet die Darstellung des Dixonschen Beweises des allgemeinen Cauchyschen Integralsatzes und des Residuensatzes, wenngleich diese Themen in einer eigenständigen Vorlesung besser aufgehoben sind.