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2022 | OriginalPaper | Chapter

25. Parametrische Tests für normalverteilte Stichproben

Authors : Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Published in: Statistik für Ökonomen

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Der statistische Test und das Konfidenzintervall beruhen auf den gleichen statistischen Prinzipien und sind Teil der induktiven Statistik. Bei einem statistischen Test wird ein Hypothesenpaar, bestehend aus einer Nullhypothese \(H_0\) und einer Alternativhypothese \(H_1\), anhand einer statistischen Verteilung überprüft.

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Footnotes
1
Für das Hypothesenpaar \(H_0: \mu _X \le \mu _0\) gegen \(H_1: \mu _X > \mu _0\) ist die Gütefunktion
$$\begin{aligned} g(\mu _X) = \text {Pr}\left( \frac{\bar{X}_n - \mu _0}{\frac{\sigma _X}{\sqrt{n}}} > z_{1-\alpha } \mid \mu _X \right) \end{aligned}$$
und für das Hypothesenpaar \(H_0: \mu _X = \mu _0\) gegen \(H_1: \mu _X \ne \mu _0\)
$$\begin{aligned} g(\mu _X)=\text {Pr}\left( \frac{\bar{X}_n - \mu _0}{\frac{\sigma _X}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha }{2}} \mid \mu _X \right) + \text {Pr}\left( \frac{\bar{X}_n - \mu _0}{\frac{\sigma _X}{\sqrt{n}}} > z_{1-\frac{\alpha }{2}} \mid \mu _X \right) \end{aligned}$$
 
2
Entsprechend erhält man für einen rechtsseitige Test
$$\begin{aligned} g(\mu _X) = 1 - F_{Z_n} \left( z_{1-\alpha } - \frac{\mu _X - \mu _0}{\sigma _X} \, \sqrt{n}\right) \end{aligned}$$
und für einen zweiseitigen Test
$$\begin{aligned} g(\mu _X) = F_{Z_n} \left( z_\frac{\alpha }{2} - \frac{\mu _X - \mu _0}{\sigma _X} \, \sqrt{n}\right) + 1 - F_{Z_n} \left( z_{1-\frac{\alpha }{2}} - \frac{\mu _X - \mu _0}{\sigma _X} \, \sqrt{n}\right) \end{aligned}$$
 
3
Für einen rechtsseitigen Test ist die Identität
$$\begin{aligned} \mu _0 + z_{1-\alpha }\,\frac{\sigma }{\sqrt{n}} {\mathop {=}\limits ^{!}} \mu _1 + z_{\beta }\,\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \end{aligned}$$
zu verwenden. Das Ergebnis für n unterscheidet sich nicht. Für einen zweiseitigen Test ist \(z_{1-\frac{\alpha }{2}}\) einzusetzen. Der Fehler 2. Art wird nicht halbiert, sodass weiterhin \(z_{\beta }\) verwendet wird.
 
Metadata
Title
Parametrische Tests für normalverteilte Stichproben
Authors
Wolfgang Kohn
Riza Öztürk
Copyright Year
2022
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Statistik für Ökonomen

Print ISBN: 978-3-662-64753-0

Electronic ISBN: 978-3-662-64754-7

Copyright Year: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64754-7_25