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Erschienen in:
2020 | OriginalPaper | Buchkapitel
23. Flächentragwerke
verfasst von : Dr.-Ing. Andreas Hanau, Prof. Dr.-Ing. Joachim Villwock
Erschienen in: Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Unter der Voraussetzung, dass die Plattendicke h klein zur Flächenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Flächenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit \(N=Eh^3/[12(1-\nu^2)]\) für die Durchbiegungen \(w(x,y)\) die Bipotentialgleichung
$$\begin{aligned}[b]\Updelta\Updelta w&={\frac{\partial^4w}{\partial x^4}} +2{\frac{\partial^4w}{\partial x^2\: \partial y^2}} +{\frac{\partial^4w}{\partial y^4}}\\ {}&={\frac{p(x,\;y)}{ N}}\:.\end{aligned}$$
(23.1)
Die Biegemomente \(M_{x}\) und \(M_{y}\) sowie das Torsionsmoment \(M_{xy}\) folgen aus
$$\begin{aligned}[b] M_{x} &=-N\left(\frac{\partial^2\: w}{\partial x^2}+\nu\: \frac{\partial^2\: w}{\partial y^2}\right)\:,\\ M_{y} &=-N\left(\frac{\partial^2\: w}{\partial y^2}+\nu\: \frac{\partial^2\: w}{\partial x^2}\right)\:,\\ M_{xy} &=-(1-\nu)\;N\: \frac{\partial^2\: w}{\partial x\;\partial y}\:. \end{aligned}$$
(23.2)