Hamiltonsche Mechanik und Quantenmechanik

Als Teilgebiet der Physik ist die Mechanik die Lehre von den Kräften und der von ihnen verursachten Bewegung von Massenpunkten und aus diesen aufgebauten Körpern. Ihre besondere Aufgabe besteht in der Aufstellung von Bewegungsgleichungen, deren Lösung es gestattet, die Bahn mechanischer Objekte zu ermitteln oder vorherzusagen.

Ein System heißt freies System, wenn seine Massenpunkte nur eingeprägten Kräften unterliegen aber sonst in ihren Bewegungen nicht eingeschränkt werden, wie das bei den Himmelskörpern der Fall ist. Die Komponenten $$\left( {x_{k} ,\,y_{k} ,\,z_{k} } \right)$$ x k , y k , z k der Ortsvektoren $$r_{k}$$ r k der Massenpunkte sind dann voneinander unabhängig und unterliegen keinen weiteren Bedingungen.

Die erste Schwierigkeit wird durch die Einführung eines Satzes von generalisierten Koordinaten qi(t) als Zeitfunktionen überwunden.

Die Lösung der Bewegungsgleichungen (2.1) für ein System aus Massenpunkten unter Nebenbedingungen kann recht umständlich sein und führt wegen der Zwangskräfte auch nicht immer zum Ziel.

Gebundene Massenpunkte nach (2.1) befinden sich im Gleichgewicht, wenn keine Kräfte auf sie einwirken.

Das Prinzip der virtuellen Arbeit gilt nur für die Statik. Um zu einem Prinzip zu gelangen, das auch die Bewegungen eines Systems umfasst, verwendete Jakob Bernoulli einen Gedanken, der von Jean le Rond D’Alembert 1743 weiter entwickelt wurde, [13, S. 17], [22, S. 30], [35, S. 55].

In der weiteren Darstellung werden nur noch generalisierte Koordinaten verwendet, bei denen der Index $$i$$ i stets die Folge 1, 2, …, $$f$$ f der Freiheitsgrade nach (2.2) durchläuft.

Ein Nachteil der Newton’schen Mechanik besteht darin, dass die Bewegungsgleichungen bei einer Punkttransformation nicht forminvariant sind. Im ebenen Fall lautet der Ortsvektor in kartesischen und Polarkoordinaten.

In konservativen, mechanischen Systemen stellen die Geschwindigkeitsableitungen der Lagrange-Funktion die gewöhnlichen Impulskomponenten dar.

In das totale Differential der Lagrange-Funktion werden die Gleichungen (9.1) und (9.3) eingesetzt.

In vielen physikalischen Gebieten kann man die auftretenden Phänomene durch Lagrange’sche Gleichungen beschreiben, so dass sich die fundamentalen Gesetze der Natur aus einem einheitlichen Prinzip ableiten lassen, [38, II, S. 9].

Das Hamilton’sche Prinzip, das von William Rowan Hamilton 1834 formuliert wurde, besagt, dass die Bewegung mechanischer Systeme bei allen denkbaren oder variierten Bahnkurven, die zwischen zwei zeitlich definierten festen Punkten P0 = P(r(t0)) und P1 = P(r(t1)) möglich sind, auf derjenigen Bahnkurve tatsächlich verläuft, die eine extremale oder stationäre Wirkung hat.

Die kartesischen Koordinaten xk , yk , zk bestimmen im dreidimensionalen euklidischen Raum oder Ortsraum k Punkte und bei Zeitabhängigkeit xk(t), yk(t), zk(t) entsprechend k Bahnkurven dieser Punkte.

Gegenüber dem Lagrange’schen Konfigurationsraum hat der Hamilton’sche Phasenraum einen bemerkenswerten Vorteil bei der Betrachtung der Gesamtheit aller Bahnkurven, die als vollständige Lösung bei beliebigen Anfangsbedingungen für viele Fragen in mechanischen Systemen von Interesse sind.

Eine generalisierte Koordinate $$q\ell$$ q ℓ , die in der Lagrange-Funktion (7.9) nicht auftritt, wird nach Helmholtz zyklische oder nach Whittaker ignorable Variable genannt, [18, S. 125], weil sie häufig einer Drehung um eine Achse entspricht. Aus den Gleichungen von Lagrange (7.10) sowie (9.3) und den kanonischen Bewegungsgleichungen (10.2) geht hervor, dass dann auch die Hamilton-Funktion H nicht von der Koordinate $$q\ell$$ q ℓ abhängt und der konjugierte Impuls $$p\ell$$ p ℓ konstant ist, der damit eine Erhaltungsgröße oder eine Konstante der Bewegung darstellt.

In der Hamilton’schen Formulierung sind die generalisierten Koordinaten und Impulse gleichberechtigte, unabhängige Variable qi, pi, die durch eine Legendre-Transformation in zwei neue Variablensätze transformiert werden mit dem Ziel, möglichst viele zyklische Variable zu erzeugen. Nach Whittaker werden die neuen Variablen mit großen Buchstaben geschrieben, [18, S. 196], mit $$i,\,k\, \in$$ i , k ∈ 1, 2, …, $$f$$ f .

Eine physikalische Größe F eines Systems, die vollständig durch Koordinaten, Impulse und Zeit bestimmt ist, heißt Observable oder messbare Größe.

Durch geeignete Wahl der Erzeugenden soll eine kanonische Transformation (16.1) gefunden werden, bei der alle neuen Koordinaten Qi zyklisch sind, und die neue Hamilton-Funktion als K(Pi, t) möglichst einfach wird.

Die Hamilton-Jacobi Gleichung ist als partielle Differentialgleichung normalerweise schwerer zu lösen als gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen, so dass man mit der Hamilton-Jacobi-Methode in der Praxis kaum Vorteile hätte.

Auf vielen Gebieten der Physik sind Systeme von besonderem Interesse, deren Bewegungen periodisch sind. Häufig sind dabei nicht die Einzelheiten der Bahnkurven, sondern nur die Frequenzen der Bewegung gesucht. Zur Behandlung periodischer Bewegungen kann man eine elegante und wirksame Methode anwenden, die eine Abwandlung des Hamilton-Jacobi Verfahrens darstellt.

Zu verschiedenen mechanischen Problemen werden die Funktionen L und H an folgenden Literaturstellen abgeleitet bzw. angegeben, [8, S. 163, 176, 182, 189], [13, S. 22, 26, 47, 272, 307], [31, S. 113, 118, 150].

Die Verwendung generalisierter Koordinaten zur Beschreibung der Bewegung mechanischer Systeme ist ein wesentliches Merkmal der analytischen Mechanik, deren Gleichungsstruktur ohne Bezug auf ein spezielles Koordinatensystem dargestellt werden kann. Das entspricht Einsteins Relativitätsprinzip, nach dem alle physikalischen Gesetze unabhängig vom Bezugssystem in gleicher Form gelten müssen, was bereits im Abschnitt 15.2 angesprochen wurde.

Für Systeme, deren Hamilton-Funktion die Zeit t nicht explizit enthält und die als Konstante der Bewegung der Gesamtenergie (10.7) entspricht, gilt nach Abschnitt 18.2 die Differentialgleichung (18.5). Zur anschaulichen Beschreibung reicht ein einzelner Massenpunkt der Masse m in kartesischen Koordinaten aus, für den man wegen des konstanten Impulses P nach (18.7) den folgenden Lösungsansatz für die Wirkungsfunktion S nach (18.6) mit (18.9) macht.

Die Quantenmechanik wurde wie jede physikalische Theorie entwickelt auf Grund überraschender und zunächst unerklärbarer Erfahrungen, wie die in der Spektroskopie seit langem untersuchten und in großer Fülle vorliegenden Absorptions- und Emissionslinien von Elementen und Verbindungen, und der Suche nach Deutung und formelmäßiger Beschreibung der beobachteten Phänomene.

Die Physik wurde bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts durch die Mechanik von Massenpunkten bestimmt, deren Bewegung dem Grundgesetz der Dynamik (1.1) und dem Gravitationsgesetz von Newton gehorchen.

In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden mit Hilfe von Gasentladungsröhren, deren Vakuum durch eine vom Instrumentenbauer Heinrich Geissler entwickelte Quecksilbervakuumpumpe wesentlich besser war als bei bisherigen Geräten, von mehreren Wissenschaftlern Kathodenstrahlen untersucht. Deren Natur wurde von Joseph John Thomson 1897 als negativ geladene Elektronen erkannt, der auch die spezifische Ladung als Quotient aus Elementarladung und Masse des Elektrons mit dem Wert.

Die Kraft F, die eine kleine Probeladung +q im elektrischen Feld der Punktladung +Q erfährt, die sich im Koordinatenursprung befindet, wird durch das Coulomb’sche Gesetz (1785) beschrieben.

Am Ende des Jahres 1900 stellte Max Planck das Strahlungsgesetz des Schwarzen Körpers bzw. der Hohlraumstrahlung auf, [29, II, S. 644], das zum Ausgangspunkt für die Entwicklung der Quantentheorie wurde.

Zum Ende des 19. Jahrhunderts bestand auf Grund einer Fülle experimenteller Ergebnisse zu den Atomspektren Klarheit darüber, dass das elektrisch neutrale Atom aus einem positiv geladenen Anteil und einer Anzahl von negativen Elektronen bestand.

Einen ersten Schritt zur Lösung dieser Widersprüche machte Niels Bohr 1913, indem er Plancks Formel, Einsteins Lichtquanten und Rutherfords Modell kombinierte und durch eigene Vorstellungen erweiterte.

Zur Überwindung der erkennbaren Probleme beschritt Arnold Sommerfeld einen Weg, indem er das Atommodell von Bohr weiterentwickelte. Das Bohr-Sommerfeld’sche Atommodell von 1916 zeichnet sich dadurch aus, dass bei Elementen wie dem Wasserstoff und den Alkalimetallen Li, Na, K etc. der ersten Hauptgruppe des Periodensystems mit nur einem Elektron in der äußeren Hülle für die Umlaufbahnen auch Ellipsen zugelassen wurden, so dass mehr Freiheitsgrade existierten, die man am besten mit Kugelkoordinaten $$\left( {r,\,\vartheta ,\,\varphi } \right)$$ r , ϑ , φ beschreiben konnte. Dieses äußerste Elektron, das für Anregung und Ionisierung in Frage kommt, heißt Leuchtelektron oder wegen seiner Bedeutung für die chemische Bindung Valenzelektron. Elektronen, die sich in abgeschlossenen Schalen dichter am Atomkern befinden und seine Kernladung abschirmen, bilden die Rumpfelektronen.

Der Bohr’schen Theorie und dem Bohr-Sommerfeld’schen Atommodell kommt ein bleibender Erfolg zu, da damit eine neue physikalische Denkweise ihren Anfang nahm, durch die eine Fülle experimenteller Erfahrungen gedeutet werden konnte.

Die Lichtquanten, die Einstein 1905 mit dem Dualismus von Welle und Teilchen beim Licht eingeführt hatte, wurde von den zeitgenössischen Physikern längere Zeit nicht ernst genommen. Ihre ablehnende oder gleichgültige Haltung änderte sich erst durch den berühmten Versuch von Compton im Jahre 1922, der neben dem Photoeffekt und dem Franck- Hertz-Versuch die korpuskulare Natur der elektromagnetischen Strahlung nachweisen konnte, [15, S. 51].

Durch eine Reihe von Ergebnissen wie lichtelektrischer und Compton-Effekt hatten die Physiker einsehen müssen, dass elektromagnetische Strahlung neben den klassischen Welleneigenschaften auch Korpuskeleigenschaften aufweist, je nachdem, welches Experiment durchgeführt wird. Die jeweiligen Modelle von Welle oder Teilchen sind deshalb stets nur anschauliche Beschreibungen der bei einem Versuch auftretenden Phänomene, die nur gemeinsam im Sinne eines ergänzenden „Sowohl-als-Auch“ eine Gesamtdarstellung der physikalischen Wirklichkeit ergeben.

Anders als bei der Relativitätstheorie von 1905 und 1915, die ja praktisch im Alleingang von Albert Einstein entwickelt wurde, haben an den neuen Konzepten der Quantentheorie zur Aufklärung und Beschreibung der Phänomene im atomaren Bereich eine Reihe hochrangiger Physiker mitgewirkt, unter denen Bohr, Born, Heisenberg, Jordan, Schrödinger, Pauli und Dirac die bedeutendsten sind.

Der richtungweisende Gedankengang von Schrödinger ging aus vom Vergleich eines Lichtstrahls in der geometrischen Optik und der Bahn eines Elektrons im elektrischen Feld.

Die Schrödinger-Gleichungen (36.8) und (36.12) sind linear und homogen, so dass das Superpositionsprinzip gilt, bei dem linear überlagerte Lösungen ebenfalls eine Lösung darstellen, [4, S. 57, 86].

Ähnlich wie Thomas Young 1802 beim Licht führte Claus Jönsson 1959 Doppelspaltversuche mit Elektronen durch, wobei die Schwierigkeit in der Herstellung der Spaltbreiten von 0.5 μm mit einem Abstand von 2 μm in Metallfolien bestand, [1, S. 44]. Dieses Experiment, das von zentraler Bedeutung für das Verständnis der Quantenmechanik ist, zeigt auf dem Empfangsschirm auch bei Elektronen ein Interferenzmuster, das wie beim Licht nur auftritt, wenn beide Spalte offen sind. Wird ein Spalt geschlossen, dann ergibt sich nur das Beugungsmuster am Einzelspalt, das die Wellennatur der Elektronen bestätigt. Das Interferenzmuster beim Doppelspalt kann nicht bei einem einzelnen Elektron beobachtet werden, sondern ist erst dann deutlich zu erkennen, wenn eine große Anzahl von Elektronen auf dem Empfangsschirm registriert worden ist. Bei Drosselung der Intensität auf ein Elektron pro Zeiteinheit überlagert sich in einem längerfristigen Experiment eine Vielzahl von Elektronen zum Interferenzmuster durch langsamen Aufbau des Trefferbildes aus Einzelpunkten auf dem Schirm, [4, S. 54], [14, S. 14].

Eine Zufallsvariable $$X$$ X und ihre Verteilung heißen stetig, wenn die Wahrscheinlichkeit WS, dass die reelle Zahl X einenWert im einseitig unendlichen Intervall $$- \infty \le X \le x$$ - ∞ ≤ X ≤ x annimmt, durch folgendes Integral dargestellt wird.

Die Grundlage für Gauss’sche Kurvenverläufe ist die wichtige Funktion $$e^{{ - x^{2} }}$$ e - x 2 , die in Mathematik und Physik in vielen Bereichen auftritt.

In der klassischen Mechanik bildet die Summe aus kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Wpot, die auch explizit von der Zeit abhängen kann, die Gesamtenergie Wges eines Teilchens, die als Hamilton-Funktion (10.7) bezeichnet wird.

Das innere Produkt zweier komplexer Funktionen, das auch häufig als Skalarprodukt bezeichnet wird, da es das skalare Produkt von dreidimensionalen Vektoren auf Funktionen verallgemeinert, genügt den Axiomen des Hilbert-Raumes, der im Abschnitt 58.1 behandelt wird, und ist durch folgende beschränkte Integrale definiert, deren Grenzen den relevanten Bereich der Variablen umfassen.

Ein linearer Operator ℒ, der selbst komplex sein kann, hat bei Anwendung auf die Funktionen $$\varphi$$ φ und $$\psi$$ ψ mit komplexen Faktoren $$\alpha$$ α und $$\beta$$ β folgende Eigenschaft.

Zur Beschreibung von Teilchen in konservativen Feldern, bei denen eine potentielle Energie Wpot wirkt, gilt die zeitunabhängige oder stationäre Schrödinger-Gleichung (41.7), die in eindimensionaler Form lautet.

Der einfachste denkbare Fall ist ein Teilchen, auf das im Raum keinerlei Kräfte einwirken. Im klassischen Fall würde ein solches Teilchen nur dem Trägheitsgesetz gehorchen und sich geradlinig gleichförmig und daher mit konstanter Geschwindigkeit, die auch Null sein kann, bewegen. In der Quantenmechanik führt die Schrödinger-Gleichung dagegen auf eine Wellenfunktion.

In Kern- und Festkörperphysik liegen häufig Potentialfunktionen vor, die man in bestimmten Bereichen als konstant ansehen kann. Um die Behandlung zu vereinfachen, werden die Aufgabenstellungen idealisiert, bei denen die Potentialfunktionen endliche Sprünge und keine kontinuierlichen Übergänge bei aneinander angrenzenden Regionen aufweisen.

In vielen Büchern zur Quantenmechanik werden Beispiele so behandelt, dass die Vorgabe der Potentialfunktion Wpot $$\left( x \right)$$ x , speziell beim Potentialtopf, auch negative Werte annehmen kann, wie das beim Coulomb-Potential im Kapitel 27 bereits aufgetreten ist. Die Auswirkungen werden an der folgenden Darstellung untersucht, bei der zunächst nur positive Energiewerte angenommen werden.

Die bisher behandelten Aufgaben mit einfachen Potentialvorgaben waren relativ leicht lösbar, da die Stetigkeitsbedingungen nur an einer oder zwei Sprungstellen zu erfüllen waren. Der algebraische Aufwand steigt mit der Anzahl der Potentialsprünge aber erheblich an und ist dann kaum mehr auf überschaubare Weise zu bewältigen.

Ein wichtiges Anliegen der Physik bestand darin, das Verhalten der Elektronen im Festkörper zu beschreiben und die elektrische Leitfähigkeit im Rahmen eines atomistischen Modells zu deuten. Weder die Auffassung der Leitungselektronen als Elektronengas noch die Vorstellung, dass sie in zwischenatomaren Bindungen lokalisiert sind, führten zu befriedigenden Ergebnissen.

Der harmonische Oszillator ist ein einfaches aber anschauliches Modell für die Darstellung schwingender Systeme, das deshalb große Bedeutung hat, da sowohl in der klassischen wie in der Quantenmechanik bei vielen Problemen mit Auslenkung von Massen proportionale, rücktreibende Kräfte auftreten. Dieses Modell des harmonischen Oszillators wurde benutzt, um Atome in den Hohlraumwänden bei der Strahlung des Schwarzen Körpers oder bei atomaren Schwingungen in Kristallen zu beschreiben.

Zentralfelder sind dadurch gekennzeichnet, dass Erregung und Kraft von einem Zentrum ausgehen oder auf dieses gerichtet sind und daher nur von der radialen Koordinate r abhängen. Diese Felder sind konservativ, so dass nach (36.10) die Kraft als negativer Gradient einer Potentialfunktion ausgedrückt werden kann und die Arbeit alsWegintegral der Kraft nicht vom durchlaufenen Weg, sondern nur von seinen Endpunkten abhängt, [37, I, S. 378, II, S. 81].

Die aus der Separation hervorgegangene Gleichung (51.7) zur Bestimmung der Funktion $$Y\left( {\vartheta ,\,\varphi } \right)$$ Y ϑ , φ ist eine partielle Differentialgleichung für die Abhängigkeit von den Winkelvariablen $$\vartheta$$ ϑ und $$\varphi$$ φ .

Rotation ist eine fundamentale Bewegung in der realen Welt. Daher ist der Drehimpuls oder Drall eines der wichtigsten Konzepte der klassischen Mechanik, der in abgeschlossenen Systemen mit Zentralkräften neben Energie und Impuls ebenfalls eine Erhaltungsgröße ist.

In rotationssymmetrischen Koordinatensystemen kann man Laplace- und Helmholtz-Gleichung oft nicht direkt mit einem einfachen Bernoulli- Ansatz separieren, was aber mitunter durch R-Separation mit einer reduzierten Funktion gelingt, [22, S. 96].

Ein Problem der Anfangszeit der Quantentheorie bestand in der Aufklärung der Atomstruktur der Elemente und den erzeugten, durch eine Fülle von Messungen sehr genau bekannten Spektrallinien, insbesondere beim einfachsten Fall des Wasserstoffatoms, [39]. Die Bohr’schen Postulate boten keine stichhaltige Erklärung verschiedener beobachteter Phänomene, die erst durch die Quantenmechanik ihre überzeugende Begründung fanden.

Das Kratzer’sche Potential wird durch die folgende potentielle Energie mit positiven Konstanten C und D dargestellt.

Einzelne, massebehaftete Teilchen erzeugen Zentralfelder (s.Abschnitt 51.1), bei der die Wechselwirkung zweier Teilchen durch eine Kraft bzw. Eine potentielle Energie erfolgt, die nach (25.1) nur vom gegenseitigen Abstand $$r = \left| r \right|$$ r = r und seiner Richtung abhängt.

Die bisherigen Untersuchungen gingen aus von einer von Ort und Zeit abhängigen Wellenfunktion $$\Psi \left( {r,\,t} \right)$$ Ψ r , t oder ψ(r), die den Zustand eines quantenmechanischen Systems beschreibt. Da man eine Aufgabenstellung aber ebenso im Impulsraum mit der Fourier-Amplitude $$\Phi \left( {p,\,t} \right)$$ Φ p , t oder auch mit den Koeffizienten $$c_{k}$$ c k einer Entwicklung (43.13) von ψ nach den Funktionen eines vollständigen Orthogonalsystems sowie auch mit einer Matrixdarstellung im Rahmen der Matrizenmechanik lösen kann, lag die Vorstellung nahe, von diesen speziellen Beschreibungsweisen abzusehen und eine allgemeine Grundlage zu entwickeln, die den wesentlichen Inhalt der Quantenmechanik ausmacht. Dazu war es nötig, eine Axiomatik zu begründen, aus der sich alle quantenmechanischen Gesetze widerspruchsfrei ableiten lassen. Dabei stellte sich heraus, dass mit der Theorie des Hilbert-Raumes sowie der Darstellung im Courant-Hilbert-Band von 1924 „Methoden der Mathematischen Physik $$I$$ I “ mit der Theorie der Eigenwerte und Eigenfunktionen und den für die Quantenmechanik wesentlichen Aspekten von Algebra und Analysis in der mathematischen Literatur bereits ein Konzept fertig vorlag, [8, S. 244], [25, S. 134].

Als allgemeingültiges Gesetz muss die Schrödinger-Gleichung nicht nur die atomaren Erscheinungen sondern auch alle makroskopischen Vorgänge in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung, also der Messung physikalischer Größen, beschreiben, [8, S. 144]. Dazu muss in der Quantenmechanik zunächst festgelegt werden, was den Größen der klassischen Mechanik wie den Koordinaten und Impulsen entsprechen kann.

Ein geladenes Teilchen der Masse $$m$$ m und der Ladung $$q$$ q befindet sich im elektromagnetischen Feld, das durch Vektorpotential A(r, t) und skalares Potential $$\varphi \left( {r,\,t} \right)$$ φ r , t beschrieben wird, die zusammen als elektrodynamische Potentiale bezeichnet werden, [35, II, S. 217]. Aus diesen Potentialen gewinnt man durch Differentiation die elektrische Feldstärke E(r, t) und die Induktion B(r, t).

In die zeitliche Ableitung des Erwartungswertes (59.2) der physikalischen Größe A, die man auch durch ihren hermiteschen Operator A identifizieren kann.

Der vektorielle Drehimpulsoperator nach (53.1) und (53.3).

Die Eigenwerte des linearen harmonischen Oszillators, die im Abschnitt 50.5 bereits im Zusammenhang mit den Hermite’schen Polynomen ermittelt wurden, werden alternativ nach der algebraischen Lösungsmethode mit Hilfe der Vertauschungsregeln bestimmt, [5, S. 226], [9, S. 145], [13, S. 66], [19, S. 151], [23, S. 153].

Symmetrie ist eine geometrische Erscheinungsform, die man im Aufbau vieler Objekte in Natur und Technik findet.

Die bisherige Betrachtung des Elektrons ging aus von der Charakterisierung als punktförmiges Elementarteilchen mit Masse $$m_{e}$$ m e und Ladung $$- e$$ - e , die in den quantenmechanischen Bewegungsgleichungen auftraten. Mit diesen spezifischen Eigenschaften konnte man viele experimentelle Ergebnisse wie das Termschema des Wasserstoffatoms erklären.

Da die Vertauschungsregeln eine fundamentale Rolle für die Quantenmechanik bilden, werden die wesentlichen Eigenschaften für Drehimpulse, die bereits abgeleitet wurden, zusammengefasst und erweitert, so dass man einen allgemeinen Drehimpuls, der mit J bezeichnet wird, im aktuellen Fall mit Bahndrehimpuls L, mit Spin S oder einer Kombination identifizieren kann.

Das Relativitätsprinzip von Albert Einstein fordert, dass alle Gesetze der Physik in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen die gleiche mathematische Form haben müssen, was als Forminvarianz bezeichnet wird und bedeutet, dass Vektorkomponenten bei Koordinatenwechsel den Regeln der Lorentz-Transformation gehorchen müssen, [4, S. 215].

Die Darstellung der Quantenmechanik in den zurückliegenden Teilen des Buches stützte sich auf die Hamilton’sche Formulierung der klassischen Mechanik, die ausgeht von der nichtrelativistischen Energiebeziehung.

Bei einer Quantenmechanik, die auf der Klein-Gordon-Gleichung (68.4)

Die verschiedenen zeitabhängigen Differentialgleichungen der Quantenmechanik, die in den zurückliegenden Kapiteln des Buches behandelt und untersucht wurden, werden hier für einen Überblick tabellarisch zusammengestellt.