nach oben

2013 | Buch

Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Lineare Algebra

Grundlagen und Anwendungen

verfasst von: Peter Knabner, Wolf Barth

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Ziel der Linearen Algebra ist die Einübung in die Theorie und Anwendung linearer Strukturen.

Der heutigen Bedeutung der Linearen Algebra als grundlegendes Werkzeug und Sprache für fast alle Teile der Mathematik entsprechend wurden die Inhalte bewußt breit gefasst und vernetzt:

Aspekte der affinen Geometrie (Lehramt), unendlich-dimensionale Vektorräume, Spektralanalyse und lineare Differentialgleichungen (Physik), allgemeine K-Vektorräume sowie algebraische Strukturen (Algebra), die Anfänge der linearen und quadratischen Optimierung (Wirtschaftsmathematik) und die LR-Zerlegung, Pseudoinverse und Singulärwertzerlegung (Numerische Mathematik und Optimierung).

Die erarbeitete Theorie und Algorithmik wird durchgängig mit innermathematischen Themen wie auch mit realen Anwendungen verbunden. Eine klare optische Struktur der Inhalte ermöglicht es dem Leser, den Kerntext von weiterführenden Bemerkungen leicht zu unterscheiden und somit das Buch als Lern- , Arbeits- wie auch als Nachschlagewerk zu benutzen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Der Zahlenraum ℝ n und der Begriff des reellen Vektorraums

Zusammenfassung

Lineare Gleichungssysteme sind die einzige Art von Gleichungen in der Mathematik, welche wirklich exakt lösbar sind. Wir beginnen mit einem Beispiel, wie es schon aus der Antike überliefert ist.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 2. Matrizen und lineare Abbildungen

Zusammenfassung

Das Studium der Beispiele 2 und 3 hat gezeigt, dass der jetzige Kenntnisstand über Matrizen nicht ausreichend ist: Bei gegebenem A ℝ^(m,n) muss nicht nur y := A x ℝⁿ für festes x ℝⁿ betrachtet werden, sondern auch die Aktion, die beliebige x ℝⁿ in gewisse y ℝ^m überführt, d. h. die durch A vermittelte Abbildung.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 3. Vom ℝ-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen

Zusammenfassung

Für gewisse Anwendungen (z.B. Codierungstheorie) ist es nützlich andere „Zahlmengen“ als ℝ (nämlich endliche) zugrunde zu legen. Andererseits werden manche Fragestellungen einfacher, wenn man sie in der Erweiterung der komplexen Zahlen ℂ betrachtet. Wir wollen daher die Eigenschaften von ℝ mit Addition und Multiplikation abstrakt fassen, die in die bisherigen Überlegungen eingegangen sind. Die Begriffe sind schon kurz in Anhang B.1 angeklungen.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 4. Eigenwerte und Normalformen von Matrizen

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt ist K ein beliebiger Körper. „Vektorraum“ bedeutet stets „K-Vektorraum“. Ist $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n$ eine Basis des Vektorraums V, so lässt sich jeder Vektor $\vec{x} \in V$ als Linearkombination $\vec{x} = x^1\vec{v}_1+\ldots+x^n\vec{v}_n$ mit (durch $\vec{x}$) eindeutig bestimmten $x^1,\ldots,x^n \in K$ darstellen. Diese Körperelemente $x^1,\ldots,x^n$ heißen Komponenten von $\vec{x}$ oder Koordinaten von $\vec{x}$ in der Basis $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n$. Wir wollen hier der Frage nachgehen, wie sich diese Koordinaten des Vektors $\vec{x}$ ändern, wenn wir ihn in einer anderen Basis $\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_n \in V$ entwickeln. Dazu schreiben wir zuerst die neuen Basisvektoren $\vec{w}_i$ als Linearkombinationen der alten Basisvektoren $\vec{v}_i$.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 5. Bilinearformen und Quadriken

Zusammenfassung

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. In Abschnitt 3.5 definierten wir, dass eine Linearform auf V eine lineare Abbildung

$$f : V \rightarrow K$$

ist und mit $f\in V^\ast$ bezeichnet wird.

In diesem Kapitel sollen (α-)Bilinearformen und darauf aufbauend, als klassisches Teilgebiet der Geometrie, Quadriken untersucht werden. Bilinearformen sind schon als Skalarprodukte auf $\mathbb{R}$-Vektorraum aufgetreten.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 6. Polyeder und lineare Optimierung

Zusammenfassung

Lineare Optimierung ist ein mathematisches Gebiet, das Mitte der 1940er Jahre aus Problemen der Wirtschaftswissenschaften entstanden ist. Je nachdem, ob man die innermathematischen Aspekte, oder die Frage der Anwendungen in den Mittelpunkt stellt, kann man dieses Gebiet der reinen oder der angewandten Mathematik zuordnen: Zum einen handelt es sich um Polyedertheorie, die die zulässige Menge des Optimierungsproblems und das Verhalten eines linearen Funktionals, des Zielfunktionals, darauf beschreibt. Zum anderen handelt es sich um die effiziente und stabile algorithmische Lösung solcher linearer Optimierungsprobleme mit dem Simplex-Verfahren, zuerst veröffentlicht von G. DANTZIG im Jahr 1947, und seiner neueren Konkurrenz, dem Innere-Punkte-Verfahren und der Ellipsoid-Methode. Der Schwerpunkt liegt hier auf dem ersten Aspekt. Eine ausführliche Behandlung der Algorithmik erfolgt im mathematischen Teilgebiet der Optimierung. Zur Orientierung wird im Folgenden ein typisches lineares Optimierungsproblem diskutiert.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 7. Lineare Algebra und Analysis

Zusammenfassung

In Definition 1.91 wurde mit dem Begriff der Norm eine abstrakte Längenmessung auf einem ℝ-Vektorraum eingeführt. Dies geht genauso auf einem $ \mathbb{K} $-Vektorraum,$ \mathbb{K} $ ∈ {ℝ,ℂ}.

Peter Knabner, Wolf Barth

Kapitel 8. Einige Anwendungen der Linearen Algebra

Zusammenfassung

Man betrachte folgendes kleines LGS

$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1-10^{-16} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 20 \\ 20-10^{-15} \\ \end{array} \right). \end{aligned}$$

Die eindeutige Lösung wird von der Mathematik-Software MATLAB Version 7.11 (MATLAB-Befehl A\b) als

$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} \widetilde x_1 \\ \widetilde x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 20 \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{aligned}$$

angegeben. Tatsächlich ist sie aber

$$\begin{aligned} \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \\ \end{array} \right). \end{aligned}$$

MATLAB erkennt zumindest, dass ein Problem vorliegt: „Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.“ Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass Rechenoperationen im zugrunde gelegten Zahlkörper $\mathbb{R}$ exakt durchgeführt werden. Tatsächlich geht aber jedes Rechnen, egal ob mit der Hand oder auf einem Computer mit Runden einher, da es nur möglich ist, endlich viele Stellen einer Zahl zu berücksichtigen. Diese Rundungsfehler können im Sinne einer a posteriori Fehleranalyse auch als Fehler in den Eingangsdaten der rechten Seite und der Matrix interpretiert werden, die dann mit einer exakten reellen Arithmetik verarbeitet werden. Hinzu kommt, dass für (fast) jedes „reale“ Problem $\vec{b}$ oder A nur gestört vorliegen. Die Störungen von $\vec{b}$ sind als „Datenfehler“, die von A als „Modellfehler“ interpretierbar.

Peter Knabner, Wolf Barth

Backmatter

Titel: Lineare Algebra
verfasst von: Peter Knabner
Wolf Barth
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-32186-3
Print ISBN: 978-3-642-32185-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-32186-3

Springer Professional

Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Der Zahlenraum ℝ n und der Begriff des reellen Vektorraums

Kapitel 2. Matrizen und lineare Abbildungen

Kapitel 3. Vom ℝ-Vektorraum zum K-Vektorraum: Algebraische Strukturen

Kapitel 4. Eigenwerte und Normalformen von Matrizen

Kapitel 5. Bilinearformen und Quadriken

Kapitel 6. Polyeder und lineare Optimierung

Kapitel 7. Lineare Algebra und Analysis

Kapitel 8. Einige Anwendungen der Linearen Algebra

Backmatter

Premium Partner