Konvektive Wärmeübertragung

Unter „Wärme“ versteht man einen Energietransport über die Grenzen eines thermodynamischen Systems. Wir betrachten ein einfaches thermodynamisches System, s. z.B. Grigull (1977), und setzen voraus, daß keine Arbeit übertragen wird. Durch Wärmeübertragung wird dann beim geschlossenen System die innere Energie E _i und beim offenen System die Enthalpie H des Systems geändert. Unter dem Wärmestrom Ф (SI-Einheit W = J/s) versteht man einen Energiestrom über die Systemgrenzen, dessen Ursache ausschließlich Temperaturgradienten im Bereich der Systemgrenze sind, s. Bild 1.1. Unter der Wärmemenge Q (SI-Einheit J = Ws) versteht man dann den über ein Zeitintervall dt integrierten Wärmestrom Ф. Für den allgemeinen Fall, daß der Wärmestrom Ф, häufig auch mit \( \dot Q \) bezeichnet, zeitlich nicht konstant ist, gilt somit

Der Kontinuumsmechanik liegen idealisierte mathematische Modelle für das mechanisch-thermodynamische Verhalten der Materie zugrunde. Diese Modelle gehen davon aus, daß Materie gleichmäβig im Raum verteilt ist und ihr Zustand durch Felder beschrieben werden kann. Geschwindigkeit u, Druck p, Temperatur T und Dichte ϱ der das Kontinuum konstituierenden materiellen „Raumpunkte“ werden damit als stetige Funktionen des Orts und der Zeit vorausgesetzt, s. Becker und Bürger (1975).

Wir haben in Kap. 1 bereits ein Beispiel einer turbulenten Strömung kennengelernt, nämlich die durch den aufsteigenden Rauch einer Zigarette sichtbar werdende freie Konvektion. Wir wollen im Folgenden zunächst zwei weitere Beispiele vorstellen.

Bei vielen Problemen der Wärmeübertragung findet das Wesentliche in unmittelbarer Nähe von festen Wänden, innerhalb einer dünnen sog. Grenzschicht an diesen Wänden, statt. Dies trifft sowohl für laminare als auch für turbulente Strömungen zu. Ist die Dicke dieser Grenzschicht im Vergleich zu den Abmessungen des betrachteten Systems relativ klein, so lassen sich aus den in Kap. 2 und 3 gewonnenen Grundgleichungen für den laminaren und turbulenten Impuls- und Wärmetransport, die wesentlich einfacher zu handhabenden Grenzschichtgleichungen gewinnen. Dies soll im folgenden Kapitel gezeigt werden. Wir beschränken uns dabei auf stationäre, zweidimensionale und inkompressible Grenzschichtströmungen.

Der Begriff der geometrischen Ähnlichkeit ist z.B. aus der Geometrie geläufig; wir nennen zwei Körper einander ähnlich, wenn entsprechende Strecken beider Körper in einem konstanten Zahlenverhältnis zueinander stehen. Der Begriff der physikalischen Ähnlichkeit verlangt neben dem konstanten Verhältnis der Längen auch ein konstantes Verhältnis aller übrigen Größen, also z.B. der Kräfte, Geschwindigkeiten, Temperaturen usw. Der Zweck dieses Kapitels ist es, festzustellen, ob diese Forderung überhaupt erfüllbar ist und welche Vorschriften sich ggf. aus ihr für die einzelnen Maßstäbe ergeben. Solche Übertragungsregeln würden uns in die Lage versetzen, an einem Modell, z.B. im Labormaßstab, das physikalische Geschehen einer Anlage im endgültigen technischen Maßstab zu studieren. Die an diesem Modell gefundenen Gesetzmäßigkeiten würden dann aber nicht nur für die eine Hauptausführung, sondern für eine beliebige Anzahl davon gelten, soweit diese untereinander und mit dem Modell physikalisch ähnlich sind.

Bei laminarer Strömung bewegen sich die Fluidelemente auf einzelnen, getrennten Bahnen, Stromfäden genannt, ohne daß von Stromfaden zu Stromfaden eine Vermischung eintritt. Lediglich durch die Zähigkeit wirken die einzelnen Stromfäden aufeinander ein, sofern sie verschiedene Geschwindigkeiten haben. Bei laminaren Strömungen vereinfachen sich die Grundgleichungen für stationäre Strömungen oder besonders einfache Geometrien so weit, daB sie exakt lösbar werden. Die Hagen-Poiseuillesche Gleichung (1.17) für die laminare Rohrströmung ist eine derartige exakte Lösung. Neben dem Geschwindigkeitsfeld läßt sich aber auch das Temperaturfeld und damit der Wärmeübergang für einige Fälle exakt berechnen.

Der Impuls- und Wärmetransport bei stationärer und turbulenter Rohrströmung wird durch die Reynoldsgleichungen, (3.10) und (3.12), die wir hier der Vollständigkeit halber nochmals in Zylinderkoordinaten angeben, beschrieben. In diesen Gleichungen sind die Stoffwerte als konstant vorausgesetzt. Mit den in Kap. 3 beschriebenen Turbulenzmodellen zur Berechnung der Wirbelviskosität ε_τ und der Wirbeldiffusion ε_q sind (7.1) und (7.2) im Prinzip lösbar; in der Regel jedoch nur mit Hilfe geeigneter numerischer Verfahren.

Eine ebene Platte mit der Länge L werde parallel zu ihrer Oberfläche mit der Geschwindigkeit u _∞ angeströmt; wobei in genügend großer Entfernung von der Vorderkante die Anströmgeschwindigkeit u _∞ und die Temperatur T _∞ des Strömungsfelds örtlich und zeitlich konstant seien. Bild 8.1 zeigt qualitativ den Verlauf der Dicke der Strömungs- und Temperaturgrenzschicht entlang der Platte, wobei angenommen wurde, daß die Grenzschichten an der Vorderkante mit der Dicke Null beginnen. Senkrecht zur Zeichenebene sei die Platte unendlich ausgedehnt; das Strömungs- und Temperaturfeld wird damit zweidimensional. An der Plattenoberfläche seien entweder die Temperatur T _w oder die Wärmestromdichte q _w örtlich und zeitlich konstant. Die Stoffwerte des strömenden Mediums setzen wir ebenfalls als konstant voraus. Die Platte sei weiterhin in einem unendlich ausgedehnten Strömungsfeld angeordnet. Da damit der Druck außerhalb der Grenzschicht konstant ist und der Druck innerhalb der Grenzschicht durch die Außenströmung ausgeprägt wird, verschwindet das Druckglied in der Bewegungsgleichung. Das Strömungs- und Temperaturfeld in Plattennähe wird durch die in Kap. 4 abgeleiteten Grenzschichtgleichungen beschrieben, die wir hier der Vollständigkeit halber für die stationäre Strömung nochmals angeben: mit der effektiven Schubspannung und der effektiven Wärmestromdichte

Unter „zylindrischen Körpern“ werden im folgenden solche verstanden, deren Querschnitt in Richtung der z-Achse eine zwar beliebige, aber unveränderliche Form hat. Der Kreiszylinder ist davon ein Sonderfall. Die Erstreckung in Richtung der z-Achse sei so groß, daß Endeffekte keine Rolle spielen. Unter diesen Voraussetzungen kann die Umströmung als zweidimensionales, d.h. ebenes Problem behandelt werden.

Im Gegensatz zur erzwungenen Konvektion entsteht die Bewegung eines Fluids bei freier Konvektion ausschließlich durch Dichteunterschiede als Folge von Temperaturunterschieden. Die aus der Temperaturabhängigkeit der Dichte resultierende Auftriebskraft ist die Antriebskraft für die Bewegung des Fluids, die im stationären Fall durch gleichmäßige Wärmezu- bzw. -abfuhr aufrecht erhalten wird. Die Abhängigkeit der Dichte von der Temperatur ist damit grundsätzlich in allen Termen der Differentialgleichungen zu berücksichtigen. Mit den in Kap. 2 abgeleiteten Gleichungen, die wir hier der Vollständigkeit halber nochmals aufführen, werden das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld bei freier Konvektion durch die Kontinuitätsgleichung (2.10b) , die Bewegungsgleichung (2.20) und die Energiegleichung (2.33b) beschrieben, wobei der Spannungstensor t durch den Stokesschen Schubspannungsansatz (2.48), der Wärmestromdichtevektor q durch den Fourierschen Wärmeleitungssatz (2.49) und die Dissipationsfunktion durch gegeben sind.

Das Strömungs- und Temperaturfeld, und damit der Wärmeübergang, bei freier Konvektion an umströmten Körpern sind von der Temperaturdifferenz zwischen Körperoberfläche und Umgebung, von der Geometrie und der Orientierung des Körpers im Raum sowie vom umgebenden Fluid abhängig. In den Beziehungen für den Wärmeübergang wird der Einfluß des Fluids, in dem sich der Körper befindet, durch die Prandtlzahl bzw. eine von der Prandtlzahl abhängige Funktion f(Pr) berücksichtigt. Für einen bestimmten Körper, z.B. den horizontalen Zylinder, läßt sich der Geometrieeinfluß durch eine sog. charakteristische Länge in den Kennzahlen erfassen. Mit der „treibenden“ Temperaturdifferenz wird die Rayleighzahl gebildet. Über einen bestimmten Bereich der Rayleighzahl kann der Wärmeübergang bzw. die Nußeltzahl durch empirische Potenzgleichungen der Form dargestellt werden. Aus theoretischen Lösungen für den laminaren Wärmeübergang an der horizontalen Platte folgt für den Exponenten der Rayleighzahl der Wert 1/5; experimentelle Daten lassen sich dagegen oft mit n=1/4 besser korrelieren. Die Ursache für diese grundsätzliche Abweichung dürfte in der theoretisch nur näherungsweise zu erfassenden Umströmung der seitlichen Begrenzungen zu suchen sein. Experimentelle Untersuchungen deuten ferner darauf hin, daß der Exponent n im turbulenten Bereich dem Grenzwert 1/3 zustrebt. Für n= 1/3 verschwindet, falls C ₁ vernachlässigt werden kann, wegen Ra~ l ³ und Nu~1 die charakteristische Länge aus der Beziehung für die Nußeltzahl.