Schwingungen

Als Schwingungen werden mehr oder weniger regelmäßig erfolgende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen bezeichnet. Schwingungen können überall in der Natur und in allen Bereichen der Technik beobachtet werden. So schwankt die Tageshelligkeit in 24-stündigem Rhythmus; es pendelt der Arbeitskolben in einem Motor ständig hin und her; schließlich ändert sich der Winkel, den ein in einer vertikalen Ebene schwingendes Schwerependel mit der Vertikalen bildet, in sich wiederholender Weise. Es wird eine Einführung in das Thema Schwingungen gegeben.

Freie Schwingungen sind Bewegungen eines sich selbst überlassenen Schwingers. Bei ihnen findet ein ständiger Energieaustausch statt, wobei Energie der Lage (potentielle Energie) und Energie der Bewegung (kinetische Energie) wechselseitig ineinander übergehen. Bleibt die während der Schwingung ausgetauschte Energie im Verlauf der Bewegung erhalten, dann sind die Schwingungen ungedämpft; man nennt sie auch konservativ. Geht Energie – zum Beispiel durch störende Reibungskräfte – verloren, so verlaufen die Bewegungen gedämpft. Im folgenden Kapitel werden zunächst die ungedämpften, dann die gedämpften Schwingungen behandelt. Innerhalb dieser Einteilung ist es dann noch zweckmäßig, die linearen von den nichtlinearen Schwingern zu unterscheiden.

Selbsterregte Schwingungen sind freie Schwingungen besonderer Art. Sie unterscheiden sich von den im Kap. 2 behandelten Schwingungen durch den Mechanismus ihrer Entstehung und ihrer Aufrechterhaltung. Kennzeichnend für selbsterregungsfähige Schwinger ist das Vorhandensein einer Energiequelle, aus der der Schwinger im Takte seiner Eigenschwingungen Energie entnehmen kann, um die unvermeidlichen Verluste durch Dämpfungen auszugleichen.

Es soll hier zunächst der Entstehungsmechanismus selbsterregter Schwingungen an Hand von Beispielen qualitativ untersucht werden; dabei sind einige wichtige neue Begriffe einzuführen. Danach werden die mathematischen Methoden zur Berechnung dargestellt und für die Untersuchung einiger konkreter Beispiele angewendet.

Schwingungen werden als parametererregt bezeichnet, bei denen die Erregung als Folge der Zeitabhängigkeit von Parametern des schwingenden Systems zustande kommt. Es interessiert dabei vor allem eine periodische Abhängigkeit von der Zeit. Da die Periode der Parameteränderung durch äußere Einwirkungen vorgeschrieben ist, liegt eine Fremderregung vor. In Sonderfällen kann jedoch auch eine Parameteränderung mit einer von der Eigenfrequenz des Schwingers beeinflussten Periode vorkommen. Die Parameter ändern sich dann im Takte der Eigenfrequenz, so dass der Schwinger gewisse Kennzeichen eines Systems mit Selbsterregung besitzt. Man kann ihn sinngemäß als parameter-selbsterregt bezeichnen. Das bekannteste Beispiel dieser Art – die Schaukel – soll noch ausführlich behandelt werden.

Kennzeichnend für parametererregte Schwingungen ist die Tatsache, dass sich die Erregung nicht auswirken kann, wenn der Schwinger in seiner Gleichgewichtslage verharrt. Jedoch kann diese Gleichgewichtslage unter bestimmten Bedingungen, insbesondere bei gewissen Verhältnissen der Eigenfrequenz zur Erregerfrequenz instabil werden, so dass eine beliebig kleine Störung die Aufschaukelung parametererregter Schwingungen auslösen kann. Die Notwendigkeit des Vorhandenseins einer Störung bildet den wesentlichen Unterschied gegenüber den erzwungenen Schwingungen. Bei diesen kann das Aufschaukeln aus der Ruhelage heraus erfolgen, denn die erregenden Kräfte der erzwungenen Schwingungen sind auch dann wirksam, wenn der Schwinger ruht.

Kennzeichen erzwungener Schwinger ist das Vorhandensein einer äußeren Erregung, durch die das Zeitgesetz der Bewegungen des Schwingers bestimmt wird. Erzwungene Schwingungen sind fremderregt, da die Erregung von außen kommt. Die erregenden Kräfte sind auch dann wirksam, wenn sich der Schwinger selbst nicht bewegt. Darin unterscheiden sich die erzwungenen Schwingungen von den zuvor behandelten selbsterregten oder parametererregten Schwingungen. So sind die schwingungserregenden Kräfte eines Verbrennungsmotors auch dann vorhanden, wenn das Fundament, auf dem der Motor steht, durch irgendwelche Maßnahmen festgehalten, also am Schwingen gehindert wird.

Die in der Technik vorkommenden Schwinger haben meist mehrere Freiheitsgrade. Sie können dann in verschiedener Weise zu Schwingungen angeregt werden, und die verschiedenen möglichen Bewegungen werden sich sowohl der Schwingungsform, als auch der Frequenz nach voneinander unterscheiden. Wenn sich diese Schwingungen gegenseitig beeinflussen, dann nennt man sie gekoppelt. Je stärker diese Kopplung ist, umso wirksamer ist die Beeinflussung, und umso mehr können die dann stattfindenden Bewegungen von den bisher untersuchten Schwingungserscheinungen abweichen. Wir wollen in diesem Kapitel einige bei Koppelschwingungen zu beobachtende Erscheinungen behandeln, müssen uns jedoch hier noch mehr als in den vorangegangenen Kapiteln auf wenige Teilprobleme beschränken. Die Zahl der Möglichkeiten ist bei Koppelschwingungen so außerordentlich groß, dass wir hier nur einige typische Fälle herausgreifen können.

Bei den bisher behandelten Schwingern waren die Speicher für potenzielle und kinetische Energie stets eindeutig definiert und klar gegeneinander abgegrenzt. Darin liegt jedoch im Allgemeinen bereits eine Idealisierung des Problems. Beispielsweise wurde bei den am Ende von Kap. 6 behandelten Drehschwingerketten einerseits die Masse der Drehfedern und andererseits eine eventuell vorhandene elastische Nachgiebigkeit der Drehmassen vernachlässigt. Für zahlreiche Untersuchungen sind derartige Vereinfachungen durchaus zulässig. Es gibt jedoch auch Fälle, bei denen diese Näherungen nicht mehr zu brauchbaren Ergebnissen führen. Wir beschäftigen uns deshalb im Folgenden mit Schwingern, bei denen die beiden Energiespeicher kontinuierlich verteilt sind. Die mathematische Behandlung dieser Probleme führt auf partielle Differentialgleichungen, für die nur in einfachen Fällen geschlossene Lösungen möglich sind. Wir beschränken uns hier auf so genannte eindimensionale Kontinua, bei denen neben der Zeit eine einzige unabhängige Ortsvariable zur Beschreibung ausreicht. Beispiele sind Saiten, Stäbe und Balken. Wegen der mathematischen Schwierigkeiten bei der Lösung praxisnaher Schwingungsprobleme kommt auch hier den Näherungsverfahren große Bedeutung zu. Auf einige dieser Näherungen wird am Ende des Kapitels eingegangen.

Unter chaotischen Bewegungen versteht man andauernde, irregulär oszillierende Schwankungen von Zustandsgrößen in deterministischen Systemen mit starker Empfindlichkeit gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen. Man kann sie den deterministischen nichtperiodischen, nichttransienten Schwingungen zuordnen. Wegen der hohen Empfindlichkeit gegenüber kleinsten Änderungen in den Anfangsbedingungen lässt sich der zeitliche Verlauf derartiger Bewegungen nicht mehr vorhersagen, obwohl die zugrunde liegenden Systeme deterministischer Natur sind. Der Zeitverlauf ähnelt einem Einschwingvorgang mit unendlich langer Dauer oder auch dem Verlauf stochastischer Schwingungen.