Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder

Die Entwicklung und Konstruktion elektrotechnischer Bauelemente, Baugruppen und Anlagen hat in den letzten 100 Jahren eine stürmische Entwicklung erfahren. Ohne Elektrizität und ihre technischen Anwendungen ist das Leben in einer Industriegesellschaft heute nicht mehr vorstellbar. Konsequenterweise ergeben sich hohe Ansprüche an Forschung und Entwicklung in diesem Bereich.

Dieses Kapitel beinhaltet eine zusammenfassende Darstellung grundlegender feldtheoretischer Beziehungen, deren Kenntnis für die folgenden Kapitel vorausgesetzt wird. Weitergehende Ausführungen können Lehrbüchern über Feldtheorie entnommen werden, von denen hier die Werke von STRATTON [140], SMYTHE [137], HANNAKAM [48] und LEHNER [88] genannt seien.

In der Mechanik wurden die Nachteile der Methode der Finiten Differenzen frühzeitig erkannt, und man hielt Ausschau nach anderen Verfahren, wie z.B. dem Variationsintegral und seiner numerischen Auswertung. Dabei standen allerdings nicht die schon seit dem Ende des letzten Jahrhunderts bekannten Ansätze mit globalen Ansatzfunktionen nach RITZ und GALERKIN im Vordergrund, sondern entsprechende lokale, lediglich über einzelnen Elementen des betrachteten Bereichs definierte Ansatzfunktionen. Hieraus entstand der Begriff „Methode der Finiten Elemente“, der erstmalig in einer Arbeit von CLOUGH [25] zur Kontinuumsmechanik im Jahre 1960 geprägt wurde. Die Herkunft der FEM ist auch heute noch deutlich an in der Literatur verwendeten Begriffen erkennbar. So wird z.B. die Hauptmatrix des resultierenden Gleichungssystems für die Unbekannten häufig als Steifigkeitsmatrix bezeichnet.

Die Bezeichnung Boundary Element Methode (BEM) hat sich international fast ausnahmslos durchgesetzt, so daß sie auch im folgenden stellvertretend für die deutsche Übersetzung „Randelementmethode“ verwendet werden soll.

Bei dieser Methode besteht das Ziel darin, die Vorteile der FEM und der BEM zu nutzen bzw. ihre jeweiligen Nachteile zu vermeiden. Vorteile und Nachteile beider Methoden sind in der Einleitung zu den Kapiteln 4 und 5 zusammengestellt und werden zum Teil in jenen Kapiteln selbst deutlich.

Neben den in den Kapiteln 4, 5 und 6 behandelten Methoden, die ihre Leistungsfähigkeit unter Beweis gestellt haben, und in zunehmendem Maß im Einsatz sind, gibt es eine Reihe weiterer numerischer Methoden zur Feldberechnung. Diese haben zum Teil sehr speziellen Charakter und sind oftmals auf ganz bestimmte Problemstellungen zugeschnitten. Während auf sie alle schon aus Platzgründen nicht eingegangen werden kann, sollen hier zwei Methoden in ihren Grundzügen behandelt werden, die vor einiger Zeit noch ziemlich dominierend waren: Die Methode der Finiten Differenzen (FDM) und die Momentenmethode.