Neue Berechnungsmethode für die Bestimmung auftretender Zahnfußspannungen in evolventischen flankenzentrierten Zahnwellenverbindungen

Zur Plausibilitätsprüfung der FE-Simulationen werden verschiedene Ergebnisse aus der Literatur herangezogen. Die Ergebnisse der genannten Arbeiten werden mit den in diesem Beitrag verwendeten FE-Simulationsmodellen im Vorfeld nachgebildet, um die Aussagekraft und die Plausibilität der verwendeten Modelle zu bestätigen. Der Abgleich zeigt eine gute Übereinstimmung. Als exemplarische Beispiele der Plausibilitätsprüfungen dienen die in Abb. 2 und 3 dargestellten Ergebnisse der Spannungsüberhöhung entlang der Zahnwellenverbindung (vgl. [12]) sowie der Spannungsverteilung entlang der abgewickelten Zahnkontur der ebenen Zahnscheibe (vgl. [6, 11, 14]). Die hier dargestellten Ergebnisse passen zu den aus der Literatur gewonnenen Ergebnissen und Erkenntnissen. Der in Abb. 2 aufgeführte Verlauf der Spannungsüberhöhung entlang der glatten Welle und der daran anschließenden Verzahnung (mit freier Verzahnung sowie vorhandener Nabenüberdeckung) entspricht den spannungsoptischen Ergebnissen aus [12]. Hierbei wird die Spannungsüberhöhung als Verhältnis der maximal auftretenden Zahnfußvergleichsspannung zur vorhandenen Torsionsbeanspruchung der glatten Welle angegeben. Die in [12] verwendete Bezugsgröße ist das Verhältnis von maximaler Zahnfußvergleichsspannung zur Torsionsspannung des fiktiven (effektiven) Ersatzdurchmessers (d_h1) gleicher Verdrehsteifigkeit einer verzahnten zu einer glatten (effektiven) Welle. Da im verwendeten Simulationsmodell der glatte Wellendurchmesser kleiner als der fiktive Ersatzdurchmessers d_h1 ist, ergibt sich im Bereich der glatten Welle eine Spannungsüberhöhung von größer als 1,0. Die auftretende maximale Spannungsüberhöhung am Beginn der Nabenverzahnung entspricht dem in [12] angegebenen Wert von ≈ 3,5.

Beim FE-Ergebnis der 2D-Zahnscheibe in Abb. 3 sind auf der Zugseite (Bereich g) nahezu keine Unterschiede der Zahnfußvergleichsspannung in Abhängigkeit des Tragverhaltens (Kopf‑, Normal‑, Fußträger) vorhanden. Hingegen ist auf der Druckseite (Bereich b in Abb. 3) die Zahnfußspannung beim Kopfträger am größten und beim Fußträger am kleinsten. Zu gleichen Ergebnissen kommen auch [6, 11].

In DIN 5480‑1 wird in Abhängigkeit des jeweils verwendeten Fertigungsverfahrens zwischen unterschiedlichen Zahnfußhöhen und Fußrundungsradien des Bezugsprofils unterschieden. Für die spanende Bearbeitung ist ein Zahnfußrundungsradius von ϱ_fP = 0,16 · m und für die umformende Herstellung ein Zahnfußrundungsradius von ϱ_fP = 0,54 · m vorgesehen:

Bei den drei erstgenannten Zerspanungsverfahren beträgt der Zahnfußrundungsradius ϱ_fP = 0,16 · m. Lediglich die Zahnfußhöhe unterscheidet sich bei diesen drei Fertigungsverfahren. Die Variation der Zahnfußhöhe und der damit einhergehende Einfluss auf die Zahnfußspannungen werden im weiteren Verlauf dieses Beitrags gesondert untersucht.

Die durchzuführenden 2D-FE-Scheibenmodelle weisen eine Dicke von 1 mm auf und werden mit einer symmetrisch parabolischen Lastverteilung belastet, welche einer äquivalenten Normalkraft von F_n = 1000 N entspricht. Es werden vergleichende Simulationen mit einem Kontaktmodell (Zahnflanke von Welle und Nabe berühren sich) sowie Einzelmodellen (Welle und Nabe werden getrennt voneinander behandelt) simuliert. Die damit gewonnen Ergebnisse der Zahnfußspannungen zeigen keine nennenswerten Unterschiede. Weder qualitativ noch quantitativ. Daher werden im Weiteren die Simulationen mithilfe der Einzelmodelle durchgeführt, welche in Abb. 1 dargestellt sind. Für diese Einzelmodelle ergeben sich die folgenden vier FE-Simulationsmodelle:

Ausgehend von den Erkenntnissen aus [14, 19, 20] sind in Bezug auf die Beanspruchungen und das Verschleißverhalten kleinmodulige Verzahnungen mit großer Zähnezahl günstiger als großmodulige Verzahnungen mit kleiner Zähnezahl. Nach [21] sollen zudem Verbindungen mit Zähnezahlen z ≤ 13 vermieden werden. Die Kombination von Modul m und Zähnezahl z ist nach [22] so zu wählen, dass bei der Auslegung von Zahnwellen eine mittlere Zähnezahl von ca. z = 30 anzustreben ist. Weiterhin ist nach [22] eine Verbindungsbreite von 0,6...0,8 · d_B zu empfehlen.

Bezugnehmend auf die in DIN 5480‑2 aufgeführten Zahnwellenverbindungen wird für die weiteren FE-Simulationen ein Zähnezahlbereich von 10 bis 82 gewählt. Die innerhalb dieses Zähnezahlbereichs vorhandenen Zahnwellenverbindungen nach DIN 5480‑2 [2] werden alle mit den vorgestellten 2D-FE-Scheibenmodellen simuliert und ausgewertet. Zusätzlich erfolgt eine Variation des Profilverschiebungsfaktors im Bereich von 0 bis 0,45. Um den Einfluss des Profilverschiebungsfaktors besser darzustellen, wird der Bereich gleichmäßig in den Stufen \({x}_{1}^{*}\)= 0; \({x}_{1}^{*}\)= 0,11667; \({x}_{1}^{*}\)= 0,28333 und \({x}_{1}^{*}\)= 0,45 unterteilt.

Daran anschließend erfolgen die Simulationen mit den 3D-FE-Modellen, um von den Ergebnissen der 2D-Berechnungen auf reale Zahnwellenverbindungen schließen zu können. Entscheidend hierbei ist das Tragverhalten über der Verbindungsbreite und der damit einhergehende Tragbreitenfaktor k_b.

Da die nach DIN 5480 [1] vorhandene Verzahnungsgeometrie auf dem Modul m basiert, welcher eine teilungsabhängige Größe ist und alle übrigen Verzahnungsgrößen sich darauf beziehen, sind die erhaltenen Simulationsergebnisse der verschiedenen Modulreihen identisch. Dies wird u. a. in [11] bei den durchgeführten FE-Untersuchungen bestätigt. Somit werden nachfolgend die Simulationsergebnisse exemplarisch für die Modulreihe m = 6 mm vorgestellt, da in dieser Modulreihe der gesamte Zähnezahlbereich von 10 bis 82 enthalten ist.

Die für die Berechnung der Zahnfußspannung notwendigen geometrischen Verzahnungsgrößen basieren auf den Angaben nach DIN 5480‑1 [1] und werden nachfolgend vorgestellt. Zudem sind die geometrischen Verzahnungsgrößen exemplarisch in Abb. 4 dargestellt.

Grundkreisdurchmesser d_b [1]:

Teilkreisdurchmesser d [1]:

Zahndicke s am Teilkreisdurchmesser [1]:

Mittlerer Durchmesser für den Zahnflankenkontakt d_M:

Der mittlere Durchmesser d_M ist der um die Profilverschiebung ergänzte Teilkreisdurchmesser. Am Durchmesser d_M befindet sich der mittlere Zahnflankenkontakt. Ober- und unterhalb dieses Durchmessers wird der Zahnflankenkontakt durch die Kopfkreise der Wellen- und Nabenverzahnung (Abstand um jeweils 0,45 · m vom mittleren Durchmesser d_M) begrenzt. Der mittlere Durchmesser d_M wird für die Belastung durch die äquivalente Einzelkraft F_n verwendet.

Eingriffswinkel α_M am mittleren Durchmesser d_M nach DIN 3960 [25]:

Die Fußkreisdurchmesser der Wellen- d_f1 und Nabenverzahnung d_f2 beziehen sich auf das Fertigungsverfahren Wälzfräsen mit einem Fußhöhenfaktor von h_fP = 0,6 · m [1]:

Zahndicken am Fußkreisdurchmesser der Wellen- s_f1 und Nabenverzahnung s_f2 nach DIN 3960 [25]:

Übliche Werkstoffe für Zahnwellenverbindungen besitzen i. d. R. duktiles Werkstoffverhalten, weshalb die verwendete Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) angewendet wird. Die Vergleichsspannung der Zugseite σ_V,z und der Druckseite σ_V,d berechnen sich wie folgt:

Darin enthalten ist die Biegespannung σ_b der Wellenverzahnung:

Und abweichend dazu die Biegespannung der Nabenverzahnung:

Die Druckspannung σ_d berechnet sich für die Wellen- und Nabenverzahnung zu:

Für die Schubspannung τ_S von Welle und Nabe gilt:

Die Zahnnormalkraft F_n in den jeweiligen Spannungsanteilen folgt durch:

Der darin enthaltene Eingriffswinkel am mittleren Durchmesser α_M wird nach Gl. 7 berechnet.

Die in den Gln. 1 und 2 enthaltene Einflusszahl α_k entspricht nicht einer Formzahl im klassischen Sinn, lässt sich jedoch ingenieurmäßig wie eine Formzahl handhaben. Mithilfe der Ergebnisse der Zahnfuß-Vergleichsspannung der FE-Simulationen σ_V,FEM nach Kap. 3 und der jeweils nach Gl. 10 bzw. 11 berechneten Vergleichsspannung σ_V wird die Einflusszahl α_k wie folgt definiert:

Die Ergebnisse der Einflusszahl α_k der FE-Simulationen nach Gl. 17 und der Näherungsgleichung. 18 sind in den Diagrammen Abb. 5, 6, 7, 8 aufgeführt. Auf der linken Seite der Diagramme ist immer die Zugseite und auf der rechten Seite die Druckseite dargestellt. Zudem sind jeweils die Wellen- und Nabenverzahnung getrennt abgebildet und es wird nochmals zwischen den beiden in DIN 5480 [1] aufgeführten Zahnfußrundungsradien von ϱ_fP = 0,16 · m und ϱ_fP = 0,54 · m unterschieden. Die Nabenwandstärke beträgt bei allen Modellen t_N = 7 · m. Der Einfluss dünnerer Wandstärken wird in Abschn. 4.5 behandelt.

Basierend auf den durchgeführten zahlreichen FE-Simulationen der Zahnwellenverbindungen nach DIN 5480 [1] lässt sich folgende Gleichung anhand der Ergebnisse ableiten:

Infolge der modulabhängigen Verzahnungsgrößen und der damit verbundenen geometrischen Skalierung, kann der Modul m in dieser Gleichung vernachlässigt werden. Lediglich die Zähnezahl z und der Profilverschiebungsfaktor x₁ besitzen einen signifikanten Einfluss auf die Einflusszahl α_k. Die in Gl. 18 einzusetzenden Koeffizienten A bis H sind in Tab. 1 aufgeführt.

Die Ergebnisse der Einflusszahl α_k zwischen der Näherungsgleichung 18 und den FE-Simulationen nach Gl. 17 stimmen sehr gut überein. Die Abweichungen auf der Druckseite der Wellenverzahnungen sowie bei allen Nabenverzahnungen liegen zum Großteil im Bereich kleiner 2 %. Speziell bei der nach [22] anzustrebenden mittleren Zähnezahl von ca. z = 30 kommt es in einzelnen Fällen zu einer Überschätzung der Einflusszahl α_k. Dies führt bei der Zahnfußspannungsberechnung in einzelnen Fällen zu höheren Spannungswerten von maximal 7 %. Die Ergebnisse liegen somit auf der sicheren Seite.

In den nachfolgenden beiden Diagrammen Abb. 9 und 10 ist die Einflusszahl α_k nach Gl. 17 in Abhängigkeit der drei unterschiedlichen Zahnfußhöhen (h_fP = 0,55 · m, h_fP = 0,60 · m, h_fP = 0,65 · m) dargestellt. Die hier aufgeführten Ergebnisse waren so zu erwarten. Durch eine Vergrößerung der Zahnfußhöhe von h_fP = 0,60 · m auf h_fP = 0,65 · m kommt es zu einer Vergrößerung des Biegehebelarms in Gl. 12 bzw. 13, wodurch der Biegespannungsanteil vergrößert und dadurch die Einflusszahl α_k geringer ausfällt. Gleiches mit entgegengesetztem Verhalten bei Verringerung der Zahnfußhöhe von h_fP = 0,60 · m auf h_fP = 0,55 · m.

Anhand der FE-Ergebnisse lässt sich die durch die Näherungsgleichung 18 berechnete Einflusszahl α_k mithilfe eines Fußhöhenfaktors Y_hfP korrigieren. Da als Ausgangsbasis die Näherungsgleichung 18 für eine Zahnfußhöhe von h_fP = 0,60 · m gilt, beträgt bei dieser Geometrie für die Zug- und Druckseite der Faktor Y_hfP = 1,0. Abgeleitet aus den FE-Ergebnissen ergeben sich für die übrigen Zahnfußhöhen die in Tab. 2 aufgeführten Werte für den Fußhöhenfaktor Y_hfP.

In der praktischen Anwendung kommen sehr häufig Zahnwellenverbindungen mit geringeren Nabenwandstärken als t_N = 7 · m zum Einsatz. Entsprechend wird nachfolgend bei dem in Abb. 1b bzw. Abb. 11 gezeigten FE-Modell die Wandstärke t_N variiert. Die weiteren Parameter (Werkstoffverhalten, Verzahnungsgeometrie, Einspannung usw.) bleiben unverändert.

Die in den Abb. 12, 13, 14, 15 aufgeführten Ergebnisse der Einflusszahl α_k zeigen, dass sich mit abnehmender Wandstärke die Einflusszahl auf der Zugseite verringert und auf der Druckseite erhöht. Zudem kommt es im Zähnezahlbereich z > 20 tendenziell zu einem reinen Versatz des Verlaufs (Offset), welcher mit einem konstanten Korrekturfaktor berücksichtigt werden kann. Des Weiteren kommt es im Bereich kleinerer Zähnezahlen z ≤ 20 teilweise zu größeren Änderungen der Einflusszahl α_k, siehe Abb. 13 und 15. Aufgrund dieser größeren Abweichungen des qualitativen Verlaufs der Einflusszahl α_k lässt sich dies nicht mehr mit einem konstanten Korrekturfaktor kompensieren.

Prinzipiell lässt sich anhand dieser Ergebnisse zeigen, dass der Einfluss der Wandstärke für Zähnezahlen z > 20 bis zu einer Wandstärke von t_N ≥ 3 · m mithilfe eines konstanten Korrekturfaktors berücksichtigen lässt. Bei kleinen Zähnezahlen z ≤ 20 und dünner Wandstärke t_N < 3 ∙ m weichen die Ergebnisse der Korrektur mit konstantem Faktor recht stark ab, weshalb dieser Bereich von der Korrektur im weiteren Verlauf dieses Beitrags nicht empfohlen wird. Insgesamt lässt sich damit der folgende Gültigkeitsbereich für die Korrektur angeben: für Zähnezahlen z > 20 mit Wandstärke der Nabe von t_N ≥ 3 · m.

Für den hier betrachteten Bereich (z > 20; 7 ≥ t_N/m ≥ 1) ist der (Korrektur‑)Faktor der Nabenwandstärke Y_tN über dem dimensionslosen Faktor der Nabenwandstärke t_N/m in Abb. 16 dargestellt. Hieran abgeleitet lässt sich der Faktor der Nabenwandstärke Y_tN näherungsweise im angegebenen Gültigkeitsbereich wie folgt berechnen:

Für die Wellenverzahnung sowie für die Nabenverzahnung mit t_N/m ≥ 7 gilt:

Für die Nabenverzahnung mit Zähnezahl z > 20 und 7 > t_N/m ≥ 3 gilt:

Die Anwendung der Korrektur für dünne Wandstärken im Bereich t_N < 3 · m wird nicht empfohlen. Speziell bei Zähnezahlen von z < 40 weichen die Ergebnisse bei dünner Wandstärke t_N < 3 · m stark ab.

Die maximale Flankenpressung einer Zahnwellenverbindung berechnet sich nach DIN 5466‑2 [10] aus der maximalen Pressung der 2D-Verbindungsscheibe multipliziert mit dem Breitenfaktor k_b. Da durch [6] bekannt ist, dass die Größe der auftretenden Zahnfußspannungen proportional zur Flankenpressung ist, lässt sich auch die maximale Zahnfußspannung durch die Multiplikation der Zahnfußspannung der 2D-Verbindungsscheibe mit dem Breitenfaktor k_b ermitteln.

Der Breitenfaktor k_b berücksichtigt dabei nur die Belastung durch reines Drehmoment. Einflüsse aus Axial- und Querkraft, Biegung sowie Flankenabweichungen bleiben unberücksichtigt. Der darin enthaltene Zahlenwert k_b0,6 kennzeichnet den in [14] aufgestellten und in [11] bestätigten Breitenfaktor für das Verhältnis Breite zu Bezugsdurchmesser von b/d_B = 0,6. Für größere Verbindungslängen lässt sich die maximale Zahnfußspannung nicht weiter reduzieren, weshalb bei der Berechnung ab dem Verhältnis b/d_B ≥ 0,6 von einer konstanten maximalen Zahnfußspannung ausgegangen wird.

Zu beachten ist, dass sich der Breitenfaktor auf neuwertige Zahnwellenverbindungen bezieht. Da sich die maximale Spannung lediglich auf einen eng begrenzten Bereich am Verbindungsanfang (vgl. Abb. 2) bezieht, kann durch einen Einlauf– wie auch Betriebsverschleiß die Spannungsüberhöhung und damit der Wert des Breitenfaktors im Betrieb reduziert werden.

Anhand der durchgeführten FEM-Simulationen ließ sich der in Abb. 17 dargestellte Breitenfaktor k_b über dem Verhältnis (Verzahnungs‑)Breite b zu Bezugsdurchmesser d_B ableiten. Obwohl sehr unterschiedliche Bezugsgrößen in der hier vorgestellten Berechnungsmethode im Vergleich zur DIN 5466‑2 [10] vorhanden sind, ist der qualitative wie auch quantitative Verlauf des Breitenfaktors in Abb. 17 fast mit den Angaben nach [10] identisch.

In Bezug auf die aus Abb. 17 abzuleitende Berechnung sind die Zahlenwerte des ersten und letzten Faktors in der nachfolgenden Gl. 22 leicht unterschiedlich zu [2]. Die weitere Berechnung mittels Gl. 23 entspricht [2].