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Erschienen in:

2023 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Tensoranalysis

verfasst von : Harald Klingbeil

Erschienen in: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel enthält eine ausführliche Einführung in den Tensorkalkül. Unter Zugrundelegung eines euklidischen Raumes wird zunächst untersucht, wie sich verschiedene Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten darstellen lassen. Dabei werden zahlreiche Abkürzungen für eine Indexschreibweise eingeführt, die nach und nach zum Ricci-Kalkül, einer weit verbreiteten Form des Tensorkalküls, führen. Eine der wichtigsten Eigenschaften von Tensorausdrücken, nämlich ihr Transformationsverhalten, wird in den Vordergrund gerückt. Mithilfe der kovarianten Ableitung werden die Differentialoperatoren der Vektoranalysis für Tensoren höherer Stufe verallgemeinert. Sowohl die Indexschreibweise, bei der von der Einstein’schen Summationskonvention Gebrauch gemacht wird, als auch die komponentenfreie Darstellung werden ausführlich diskutiert. Die Bedeutung von Tensorgleichungen für eine kovariante Formulierung grundlegender physikalischer Gesetze wird erläutert. Im Hinblick auf die Anwendung im Bereich der speziellen Relativitätstheorie wird die orthogonale Transformation eingeführt. Weil die Tensoranalysis in diesem Kapitel Schritt für Schritt auf Basis eines euklidischen Raumes aufgebaut wird, wird in einem mathematischen Ausblick erläutert, was sich ändert, wenn (pseudo)-Riemann’sche Räume zugrunde gelegt werden.

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In Kap. 5 werden sogar vier Raumdimensionen betrachtet.

Der Begriff des krummlinigen Koordinatensystems soll als Verallgemeinerung verstanden werden. Deshalb gelten auch kartesische oder affine Koordinaten als – spezielle – krummlinige Koordinaten. Dies ist aus sprachlicher Sicht unbefriedigend, aber davon abgesehen unproblematisch.

In verschiedenen Lehrbüchern werden die Leserinnen und Leser unterschiedliche Definitionen der Summationskonvention finden. Beispielsweise kann man die Summationskonvention auch für den Fall zulassen, dass derselbe Indexbuchstabe in derselben vertikalen Position auftritt. Im Rahmen dieses Buches wenden wir jedoch absichtlich eine recht restriktive Version der Summationskonvention an, da sie für die meisten Zwecke völlig ausreichend ist und weniger verwirrend sein dürfte. In vielen Lehrbüchern über die Relativitätstheorie wird die Konvention verwendet, dass zu griechischen Buchstaben, die als laufende Indizes verwendet werden, der Wertebereich $\{1,2,3,4\}$ gehört, während lateinische Buchstaben als laufende Indizes nur den Wertebereich $\{1,2,3\}$ besitzen. Manche Lehrbücher benutzen eine analoge Konvention, verwenden für griechische Buchstaben jedoch den Wertebereich $\{0,1,2,3\}$. Im vorliegenden Buch werden griechische und lateinische laufende Indizes gleichbehandelt; sie nehmen stets Werte aus $\{1,2,\dots ,n\}$ an, wobei die Raumdimension n aus dem Kontext hervorgeht oder beliebig gewählt werden darf.

Dass die Raumdimension aus der Gleichung selbst nicht hervorgeht, kann man als Vorteil (weil die Gleichungen prinzipiell für beliebige Raumdimension gültig sein können) oder als Nachteil der Indexschreibweise (weil man die Raumdimension an anderer Stelle anmerken muss) sehen.

Die Koordinatenlinie zur Koordinate $\theta ^{i}$ ist die Kurve, die entsteht, wenn man $\theta ^{i}$ variiert und alle anderen Koordinaten $\theta ^{k}$ mit $k\ne i$ konstant hält. Die Koordinatenfläche zur Koordinate $\theta ^{i}$ ist die Fläche, die entsteht, wenn man die Koordinate $\theta ^{i}$ konstant hält und alle anderen Koordinaten $\theta ^{k}$ mit $k\ne i$ variiert. Der Begriff der Koordinatenfläche hat natürlich nur im dreidimensionalen Raum eine anschauliche Bedeutung. Die Koordinatenlinien müssen im Allgemeinen nicht senkrecht auf den Koordinatenflächen stehen.

Die Formeln (3.5) und (3.6) für die Transformation der Vektorkomponenten sind gewöhnliche Matrizengleichungen, da nicht nur die Elemente von $\textbf{M}$ und $\textbf{M}^{-1}$, sondern auch die Elemente der Spaltenmatrizen für jeden Ort des Raumes Zahlen aus einem Zahlenkörper sind. In den Gleichungen (3.12) und (3.13) tauchen hingegen Basisvektoren als Elemente der Spaltenmatrizen auf, sodass keine gewöhnliche Matrizengleichung, sondern eine formale Schreibweise vorliegt. In Lehrbüchern zur linearen Algebra wird eine solche formale Schreibweise meistens vermieden, obwohl sie natürlich zu denselben Ergebnissen führt. Gut vergleichbar sind die hier formulierten Zusammenhänge beispielsweise mit [31], Abschn. 4.1: Gleichung (3.12) entspricht ausmultipliziert der Gleichung (4.1) in [31], während (3.6) der Gleichung (4.3) aus [31] entspricht. Auch in [4], Kap. II, § 11, Abschn. 4, VII, wird die Basistransformation bzw. der Basiswechsel behandelt.

Zum genauen Verständnis ist hervorzuheben, dass die $x^{i}$ von den $\theta ^{k}$ abhängen. Umgekehrt sind die $\theta ^{k}$ Funktionen der $x^{i}$. Mathematisch präziser ist es, zunächst die beiden Koordinatensätze $x^{i}$ (von dem die Koordinaten $\theta ^{i}$ abhängen) und $\tilde{x}^{i}$ (die Funktionen der $\theta ^{i}$ sind) unterschiedlich zu benennen:

Damit die Gleichungen auf der linken Seite tatsächlich die Umkehrung der Gleichungen auf der rechten Seite sind (eine Koordinatentransformation ist ein Diffeomorphismus, also eine eindeutig umkehrbare Abbildung, die in beiden Richtungen hinreichend oft stetig differenzierbar ist), muss

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle \tilde{x}^{1}=x^{1},\quad \tilde{x}^{2}=x^{2},\quad \tilde{x}^{3}=x^{3}\end{aligned} \end{aligned}$$

gelten. Mithilfe dieser Darstellung lassen sich die in der Matrix $({\textbf{M}}\cdot {\bar{\textbf{M}}}^{\text {T}})$ auftretenden Kettenregelausdrücke leicht identifizieren. Differenziert man beispielsweise die rechte Darstellung von Gleichung (3.18) nach $x^{2}$, so erhält man

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle 1=\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial \theta ^{1}}\,\frac{\partial \theta ^{1}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial \theta ^{2}}\,\frac{\partial \theta ^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial \theta ^{3}}\,\frac{\partial \theta ^{3}}{\partial x^{2}}.\end{aligned} \end{aligned}$$

Differenziert man sie hingegen nach $x^{1}$, so erhält man

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle 0=\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial x^{1}}=\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial \theta ^{1}}\,\frac{\partial \theta ^{1}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial \theta ^{2}}\,\frac{\partial \theta ^{2}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial \tilde{x}^{2}}{\partial \theta ^{3}}\,\frac{\partial \theta ^{3}}{\partial x^{1}}.\end{aligned} \end{aligned}$$

Beide Ausdrücke findet man (allerdings ohne die Kennzeichnung durch die Tilde, die gemäß dieser Fußnote präziser wäre) in der Matrix wieder.

Im Differentialquotienten $\frac{\partial \Phi }{\partial \theta ^{i}}$ in (3.23) ist i gemäß Regel 3.5 als unterer Index anzusehen. Eine Summation gemäß Regel 3.1 über i kann somit nur stattfinden, weil i in $\vec {g}{}^{\,i}$ als oberer Index auftritt. Dies ist der Grund, warum in der Definition (3.22) die Vektoren $\vec {g}{}^{\,i}$ mit einem oberen Index eingeführt wurden.

Beispielsweise sind Kugel- oder Zylinderkoordinaten, aber auch nicht-orthogonale Koordinatensysteme möglich. Auch geradlinige Koordinatensysteme (affin oder kartesisch) sind als Spezialfall möglich.

Von nun an wird nicht mehr explizit auf die Einstein’sche Summationskonvention hingewiesen. Die Regeln 3.1 bis 3.5 werden stillschweigend angewandt.

Dass man die beiden Indizes übereinanderschreiben darf, kann man an dieser Stelle noch nicht wissen. Die Begründung wird in Fußnote 33 in Abschn. 3.5 nachgeholt.

Beim Einsetzen eines Ausdrucks in einen anderen Ausdruck ist wegen der Einstein’schen Summationskonvention darauf zu achten, dass die im ersten Ausdruck verwendeten Summationsindizes sich von den im zweiten Ausdruck verwendeten Indizes unterscheiden. Bei der hier durchgeführten Substitution tritt jedoch in beiden Ausdrücken der Index k auf. Deshalb wurde in (3.33) der Index k durch l ersetzt, bevor die Substitution durchgeführt wurde. Hätte man dies nicht getan, dann würde in der resultierenden Gleichung dreimal der Index k auftreten, und man wüsste nicht mehr, welche zwei Indizes k als Summationsindizes dienen.

In Abschn. 3.2 werden wir sehen, dass sich die kovarianten Komponenten bei einem Wechsel des Koordinatensystems in gleicher Weise transformieren wie die kovarianten Basisvektoren, während sich die kontravarianten Komponenten analog zu den kontravarianten Basisvektoren – und damit entgegengesetzt zu den kovarianten – transformieren. Die Begriffe „kovariant“ und „kontravariant“ tragen diesem Transformationsverhalten Rechnung.

Daran, dass die Matrix $(g_{ik})$ der Metrikkoeffizienten eine Diagonalmatrix ist, erkennt man, dass es sich beim u-v-Koordinatensystem um ein orthogonales Koordinatensystem handelt; unterschiedliche Basisvektoren $\vec {g}_{i}$ und $\vec {g}_{k}$ stehen orthogonal aufeinander.

Ab jetzt werden wir für Formeln mit Nummern (B.x) nicht mehr in jedem Fall auf die konkrete Tabelle im Anhang verweisen. Es sollte trotzdem leicht sein, sie dort zu finden.

Von nun an wird von den für die Indexschreibweise gültigen Rechenregeln wie zum Beispiel der Kettenregel, der Produktregel oder Beziehungen wie $\vec {g}_{i}\cdot \vec {g}{}^{\,k}=\delta ^{k}_{i}$ oder $A^{i}\;\delta ^{k}_{i}=A^{k}$ stillschweigend Gebrauch gemacht. Noch ungeübten Leserinnen und Lesern sei empfohlen, jeden Schritt von Hand nachzuvollziehen und sich die benötigten Formeln aus den vorangegangenen Abschnitten, insbesondere aus Tab. B.16, herauszusuchen. Auch sollten sie sich überlegen, wie die Formeln, die Summationsindizes enthalten, ausführlich geschrieben aussehen würden, um sich von der Zulässigkeit der Rechenschritte zu überzeugen. Die Multiplikation einer Gleichung mit einer indizierten Größe kann beispielsweise dazu führen, dass eine Summation durchzuführen ist, die in der ursprünglichen Gleichung nicht auftrat.

Dass das Skalarprodukt $\vec {e}_{i}\cdot \vec {e}^{\;p}$ zweier kartesischer Einheitsvektoren nach (3.26) gleich dem Kroneckersymbol $\delta ^{p}_{i}$ ist, ist aufgrund der Orthogonalität offensichtlich.

Wie schon bei der Einführung des Kroneckersymbols kann man auch hier noch nicht einsehen, warum die ersten Indizes übereinanderstehen dürfen. Das Christoffelsymbol wird in verschiedenen Büchern durchaus auch auf andere Weise mit Indizes versehen. Wir werden jedoch ausschließlich die hier verwendete Indexstellung verwenden, sodass man diese als willkürliche Definition ansehen sollte. Hierauf wird auch in Fußnote 36 in Abschn. 3.7.5 eingegangen.

Ein solches Umbenennen von Summationsindizes ist stets möglich, da eventuell vorhandene freie Indizes davon nicht berührt werden.

Ziel der Umwandlung ist es, alle kartesischen Koordinaten, Basisvektoren und Vektorkomponenten durch krummlinige Koordinaten, Basisvektoren und Vektorkomponenten auszudrücken.

Der Begriff „krummlinige Koordinaten“ soll – wie bereits in Fußnote 2 in Abschn. 3.1.1 festgelegt – als Oberbegriff verstanden werden; er schließt also auch kartesische oder affine Koordinaten mit ein.

In Abschn. 3.1.2 wurde darauf hingewiesen, dass im Allgemeinen auf eine eindeutige horizontale Reihenfolge der Indizes zu achten ist. Bei den Transformationskoeffizienten nach (3.114) und (3.116) wird gegen diese Regel verstoßen – die beiden Indizes stehen direkt übereinander. Dies ist im Sinne einer Ausnahme möglich, weil die Transformationskoeffizienten ausschließlich in der hier definierten Form benutzt werden. Insbesondere wird das Heben und Senken von Indizes, wie wir es für Tensorkomponenten kennenlernen werden, für die Transformationskoeffizienten nicht zugelassen.

Alle Gleichungen, die für das Bezugssystem $\text {K}$ gelten, lassen sich auch für das Bezugssystem $\bar{\text {K}}$ hinschreiben, weil $\text {K}$ und $\bar{\text {K}}$ gleichberechtigt sind. Man muss also nur die Querstriche hinzufügen bzw. weglassen, um die Formeln des jeweils anderen Koordinatensystems zu gewinnen.

Unter dem Koordinatensystem $\bar{K}$ verstehen wir in diesem Buch ein Koordinatensystem, dessen Koordinaten $\bar{\theta }^{i}$ durch einen Querstrich gekennzeichnet sind, während die Koordinaten $\theta ^{i}$ des Koordinatensystems K nicht speziell markiert sein sollen.

Die kovariante Ableitung kennzeichnen wir in diesem Buch durch einen senkrechten Strich. Sehr häufig findet man in der Literatur auch die Konvention, dass kovariante Ableitungen durch ein Semikolon und partielle Ableitungen durch ein Komma gekennzeichnet werden:

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle V^{i}|_{l}=V^{i}{}_{;l}\qquad \frac{\partial V^{i}}{\partial \theta ^{l}}=V^{i}{}_{,l}\end{aligned} \end{aligned}$$

Da der Unterschied zwischen dem Komma und dem Semikolon sehr subtil ist, benutzen wir diese Konvention in diesem Buch nicht; damit wird leichter sichtbar, dass es sich um grundlegend verschiedene Ableitungsarten handelt.

Wir schreiben verkürzend „Skalar“, obwohl wir aufgrund der Ortsabhängigkeit besser von Skalarfeldern sprechen sollten. Auch der Begriff „Vektor“ steht in diesem Buch oftmals verkürzend für ein Vektorfeld.

Bei der Definition

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle \bar{V}^{m}|_{p}=\frac{\partial \bar{V}^{m}}{\partial \bar{\theta }^{p}}+\bar{V}^{n}\bar{\Gamma }^{m}_{np}\end{aligned} \end{aligned}$$

ist zu beachten, dass nach $\bar{\theta }^{p}$ abgeleitet wird und nicht nach $\theta ^{p}$. Obwohl der Querstrich auf der linken Seite nur bei $\bar{V}^{m}$ auftritt, ist er bei der Berechnung gemäß der rechten Seite auch auf die Koordinate $\bar{\theta }^{p}$ und das Christoffelsymbol $\bar{\Gamma }^{m}_{np}$ anzuwenden. Bei $\bar{V}^{m}|_{p}$ sind also alle Rechenschritte in $\bar{K}$ auszuführen, während bei $V^{m}|_{p}$ alle Rechenschritte in K durchzuführen sind. Dies ist deshalb bemerkenswert, weil man bei nur flüchtiger Kenntnis der Indexschreibweise fälschlicherweise annehmen könnte, dass in beiden Fällen derselbe Operator $({\ldots })|_{p}$ einmal auf $\bar{V}^{m}$ und einmal auf $V^{m}$ angewandt wird.

Der hier vorgestellte Weg zu zeigen, dass $e^{kli}\Gamma ^{m}_{il}=0$ gilt, ist vergleichbar mit dem in Abschn. 3.1.9, der auf das Ergebnis $\vec {S}_{2}=0$ führte. In beiden Fällen wird durch Ausnutzung von Asymmetrien gezeigt, dass der Ausdruck gleich sich selbst multipliziert mit $-1$ ist.

Man beachte, dass $\Phi $ ein Skalarfeld ist, das unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems in einem bestimmten Punkt des Raumes denselben Wert besitzen muss – verwendet man für das Skalarfeld in $\bar{K}$ das Symbol $\bar{\Phi }$, so muss $\bar{\Phi }=\Phi $ gelten.

Die Indizes i und k wurden vertauscht.

Die Indizes i und k wurden wieder vertauscht.

Erst in Abschn. 3.10 wird definiert, was unter dem Tensor selbst (in komponentenfreier Darstellung) zu verstehen ist, wenn dessen Stufe beliebig hoch ist. Vorerst werden wir sprachlich nicht immer strikt zwischen Tensoren und Tensorkomponenten unterscheiden. Erst in Abschn. 3.10 wird eine solche Unterscheidung stärker thematisiert.

Es gibt auch Spezialfälle, bei denen zwei Indizes tatsächlich direkt übereinanderstehen dürfen. Definiert man beispielsweise $T_{ik}=g_{ik}=\vec {g}_{i} \cdot \vec {g}_{k}$, so kann man den Index i folgendermaßen heben:

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle T^{l}{}_{k}=g^{li}\;T_{ik}=g^{li}\;g_{ik}=g^{li}\;\vec {g}_{i} \cdot \vec {g}_{k}=\vec {g} {}^{\,l} \cdot \vec {g}_{k}\end{aligned} \end{aligned}$$

Völlig analog kann man den Index k heben:

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle T_{i}{}^{l}=g^{lk}\;T_{ik}=g^{lk}\;g_{ik}=g^{lk}\;\vec {g}_{i} \cdot \vec {g}_{k}=\vec {g}_{i} \cdot \vec {g} {}^{\,l} {\qquad } \Rightarrow T_{k}{}^{l}=\vec {g}_{k} \cdot \vec {g} {}^{\,l} \end{aligned} \end{aligned}$$

Weil das Skalarprodukt zweier Vektoren kommutativ ist, sieht man anhand der letzten beiden Gleichungszeilen, dass in diesem Spezialfall $T^{l}{}_{k}=T_{k}{}^{l}$ gilt, sodass es auf die Reihenfolge der Indizes von links nach rechts nicht ankommt. Man könnte die Indizes deshalb hier direkt übereinanderschreiben, was im Allgemeinen nicht zulässig ist. Die Größe g wurde hier nur in T umbenannt, um das Heben und Senken der Indizes übersichtlicher zu machen. Wegen (3.40) gilt offenbar

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle g^{l}{}_{k}=g_{k}{}^{l}=\delta _{k}^{l}.\end{aligned} \end{aligned}$$

Dies ist die Begründung, warum beim Kroneckersymbol die Indizes übereinanderstehen dürfen. Es handelt sich beim Kroneckersymbol um Varianten der symmetrischen Metrikkoeffizienten, die durch Heben oder Senken eines Index aus diesen entstehen. Hierauf werden wir in Abschn. 3.10.5 zurückkommen.

Genauer gesagt müssten wir T als die Komponenten eines Tensors nullter Stufe bezeichnen. Weil T aber keine Indizes besitzt, ist T selbst die einzige Komponente. Deshalb ist die Unterscheidung zwischen der Komponente eines Tensors nullter Stufe und dem Tensor nullter Stufe nicht erforderlich.

Der Name „vollständig antisymmetrischer Tensor dritter Stufe“ ist unbefriedigend, weil es auch andere Tensoren dritter Stufe gibt, die vollständig antisymmetrisch sind. Trotzdem halten wir in diesem Buch an dieser Benennung fest, weil überall klar sein sollte, was gemeint ist. Bisweilen wird der vollständig antisymmetrische Tensor dritter Stufe in der Literatur auch als Levi-Civita-Tensor oder Epsilontensor bezeichnet, aber die dort benutzte Definition dieser Tensoren weicht manchmal von unserer ab.

Dadurch, dass wir die Indizes des Christoffelsymbols direkt übereinanderschreiben, bringen wir die Leserinnen und Leser auch nicht in Versuchung, diese beliebig heben oder senken zu wollen, wie es für Tensorkomponenten zulässig wäre.

Vektorgleichungen enthalten üblicherweise auch Skalare, also Tensoren nullter Stufe. In diesem Sinne sind Vektorgleichungen spezielle Tensorgleichungen, in denen Tensoren maximal erster Stufe auftreten. Allerdings benötigte man auch in der klassischen Vektoranalysis bisweilen Tensoren zweiter Stufe (sogenannte Dyaden), sodass die Vektoranalysis entsprechend erweitert wurde. Der Übergang zur Tensoranalysis mit Tensoren beliebiger Stufe ist also fließend.

Wir werden allerdings in Kap. 6 feststellen, dass diese Sichtweise im Sinne der speziellen Relativitätstheorie bei bewegten Bezugssystemen aufgegeben werden muss.

Jetzt wird verständlich, warum die Verschiebung um $\vec {r}_{0}$ bei der Verallgemeinerung der Formeln für den elektrischen bzw. magnetischen Dipol so wichtig war (siehe Fußnote 2 aus Abschn. 2.1 und Fußnote 8 aus Abschn. 2.2.4). Nur so entstehen echte Vektor- bzw. Tensorgleichungen, die nicht nur gegen Drehungen, sondern auch gegen Translationen invariant sind. Zur Bestimmung der Differenz $\vec {r}-\vec {r}_{\text {L}}$ sollte man beide Ortsvektoren in kartesischen Koordinaten darstellen, damit man die Differenz komponentenweise berechnen kann. Würde man beide Ortsvektoren hingegen in krummlinigen Koordinaten darstellen, hätte man das Problem, dass die Basisvektoren an den beiden Endpunkten der Ortsvektoren unterschiedlich definiert sind. Beispielsweise lautet der Ortsvektor in Kugelkoordinaten immer $r \vec {e}_r$, wobei aber $\vec {e}_r$ für den Ortsvektor $\vec {r}$ im Allgemeinen in eine andere Richtung zeigt als für den Ortsvektor $\vec {r}_{\text {L}}$. Deshalb ergibt die Differenz der Ortsvektorkomponenten keinen Sinn. Nachdem man die Differenz $\vec {r}-\vec {r}_{\text {L}}$ in kartesischen Koordinaten berechnet hat, kann man natürlich auch zu beliebigen krummlinigen Koordinaten wechseln, weil $\vec {r}-\vec {r}_{\text {L}}$ ein echtes Tensorfeld ist, das jedem Ort $\vec {r}$ einen Tensor zuweist.

Dies ist vergleichbar mit Vektoren, deren Komponenten zwar Indizes besitzen, die man aber selbst ohne Index schreibt. Dass wir Vektoren üblicherweise zusätzlich mit einem Vektorpfeil kennzeichnen, ist nicht zwingend nötig – der Vektorpfeil stellt eine gewisse Inkonsistenz dar, weil Tensoren höherer Stufe und Tensoren nullter Stufe auch nicht gesondert markiert werden.

Man kann natürlich auch mehrere Indizes zu Summationsindizes machen, sodass dann die Stufe um Vielfache von zwei vermindert wird.

Im engeren Sinne unterscheidet man je nach Position des Index hinter dem Ableitungsstrich zwischen kovarianter und kontravarianter Ableitung. Im weiteren Sinne bezeichnet man beide Formen als kovariante Ableitung.

Wegen Regel 3.25 ist diese Herleitung eigentlich nicht erforderlich, da (3.255) bis (3.257) direkt aus (3.253) folgen. Die Rechnung ist aber zu Übungszwecken hier abgedruckt.

Wie immer sind streng genommen Vektorfelder und Tensorfelder gemeint, die wir aber vereinfachend und kurz als Vektoren und Tensoren bezeichnen.

Der Begriff „Skalar“ wurde hier vermieden, da im Folgenden die Vektorkomponenten $A_{i}$ und $B_{i}$ als Zahl $\alpha $ verwendet werden, die im Sinne des Transformationsverhaltens keine Skalare sind.

Da ein Vektor auch nur ein Tensor ist, nämlich ein Tensor erster Stufe, ist es eigentlich nicht erforderlich, ihn durch einen Vektorpfeil zu kennzeichnen. Wir tun dies bisweilen trotzdem, um dem Leser ein schnelleres Erkennen der vertrauten Vektoren zu ermöglichen – in der Regel ist die Stufe von Tensoren aus Tensorgleichungen nicht direkt ersichtlich; sie muss stets separat erwähnt werden.

Eine Matrix ist lediglich eine Zusammenfassung von Komponenten. Ein Tensor zweiter Stufe lässt sich deshalb als Matrix schreiben; er beinhaltet aber wesentlich mehr Informationen als eine Matrix, da das Transformationsverhalten seiner Komponenten feststeht.

Wie man sieht, enthält die Tensorgleichung selbst keinerlei Informationen darüber, welche Stufe die in ihr enthaltenen Tensoren haben. Im vorliegenden Fall ist also zusätzlich das Wissen erforderlich, dass es sich bei T und U um Tensoren n-ter Stufe handelt.

Bei den komponentenfrei dargestellten Tensoren kann der Querstrich natürlich entfallen, weil $T=\bar{T}$ und $U=\bar{U}$ gilt. Für die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe gilt beispielsweise das Transformationsgesetz

$$\begin{aligned} T^{ik} = \underline{a}^i_l \underline{a}^k_m \bar{T}^{lm}, \end{aligned}$$

woraus für den Tensor selbst

$$\begin{aligned} T=T^{ik} \vec {g}_{i}\vec {g}_{k} = \underline{a}^i_l \underline{a}^k_m \bar{T}^{lm} \vec {g}_{i}\vec {g}_{k} = \bar{T}^{lm} \vec {\bar{g}}_{l}\vec {\bar{g}}_{m} =\bar{T} \end{aligned}$$

folgt. Auch bei Vektoren musste nicht zwischen $\vec {V}$ und ${}\vec {\bar{V}}$ unterschieden werden; dies war unser Ausgangspunkt für die Transformationsgesetze für Vektorkomponenten gewesen.

Es gelten natürlich wieder ähnliche Überlegungen wie in der Vektoranalysis, nach denen $\nabla $ nur formal, nicht aber im strengen Sinne als Vektor behandelt werden darf (siehe Grundlagenband).

Die Großschreibung ${\text {Div}}$ soll verdeutlichen, dass es sich nicht um die „normale“ Divergenz eines Vektors handelt, die einen Skalar liefert, sondern um eine Divergenz, die einen Vektor liefert – prinzipiell ist aber auch die Kleinschreibung ${\text {div}}$ zulässig.

Prinzipiell wäre es auch möglich, den Gradienten eines Vektors ebenso wie den Gradienten eines Skalars mit ${\text {grad}}$ zu bezeichnen. Mit der Großschreibung soll betont werden, dass es sich dabei nicht um den gewöhnlichen Gradienten aus der Vektoranalysis handelt, der einen Vektor liefert, sondern um einen Gradienten, der einen Tensor höherer Stufe liefert.

Wie in Abschn. 3.8.1 erläutert wurde, handelt es sich beim Ortsvektor nicht um einen Tensor erster Stufe, bei der Differenz zwischen zwei Ortsvektoren hingegen schon.

In (A.27) ist i durch l und k durch m zu ersetzen, sodass man $e_{lmq}\;e^{qnp}=\delta _{l}^{n}\delta _{m}^{p}-\delta _{l}^{p}\delta _{m}^{n}$ erhält. Wegen $e^{qnp}=e^{npq}$ und $e_{lmq}=e_{qlm}$ entspricht dies dem gesuchten Ausdruck.

Im Anhang A.7.3 wird gezeigt, dass im euklidischen Raum die Reihenfolge der kovarianten Differentiation vertauscht werden darf, sodass

$$\begin{aligned} \begin{aligned}\displaystyle V^{p}|^{n}{}_{p}=V^{p}|_{p}{}^{n}\quad \Leftrightarrow \quad V^{p}|_{np}=V^{p}|_{pn}\end{aligned} \end{aligned}$$

gilt.

Die Überlegung, ob über die Zeilennummer oder die Spaltennummer zu summieren ist, muss man immer sorgfältig durchführen, wenn man Gleichungen in Indexschreibweise in eine Matrixform übersetzen möchte. Natürlich kann man nicht jede in Indexform geschriebene Gleichung als Matrizengleichung schreiben, da eine indizierte Größe zum Beispiel auch mehr als zwei Indizes besitzen kann.

Im euklidischen Raum kann man natürlich krummlinige Koordinatensysteme benutzen, wovon wir ausgiebig Gebrauch gemacht haben. Im Gegensatz zu gekrümmten Räumen, in denen kein kartesisches Koordinatensystem möglich ist, muss im euklidischen Raum prinzipiell eines existieren – auch wenn man es nicht benutzt.

Titel: Tensoranalysis
verfasst von: Harald Klingbeil
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene
Print ISBN: 978-3-662-67923-4

Electronic ISBN: 978-3-662-67924-1

Copyright-Jahr: 2023
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67924-1_3

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