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Erschienen in:
2018 | OriginalPaper | Buchkapitel
5. Flächentragwerke
verfasst von : Prof. Dr.-Ing. Justus Lackmann, Prof. Dr.-Ing. Joachim Villwock
Erschienen in: Dubbel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Unter der Voraussetzung, dass die Plattendicke h klein zur Flächenabmessung und die Durchbiegung w ebenfalls klein ist, ergibt sich mit der Flächenbelastung p(x, y) und der Plattensteifigkeit \(N=Eh^3/[12(1-\nu^2)]\) für die Durchbiegungen \(w(x,y)\) die Bipotentialgleichung
$$\Updelta\Updelta w={\frac{\partial^4w}{\partial x^4}} +2{\frac{\partial^4w}{\partial x^2\: \partial y^2}} +{\frac{\partial^4w}{\partial y^4}}={\frac{p(x,\;y)}{ N}}\:.$$
(1)
Die Biegemomente \(M_{x}\) und \(M_{y}\) sowie das Torsionsmoment \(M_{xy}\) folgen aus
$$\begin{aligned} M_{x} &=-N\left(\frac{\partial^2\: w}{\partial x^2}+\nu\: \frac{\partial^2\: w}{\partial y^2}\right)\:,\\ M_{y} &=-N\left(\frac{\partial^2\: w}{\partial y^2}+\nu\: \frac{\partial^2\: w}{\partial x^2}\right)\:,\\ M_{xy} &=-(1-\nu)\;N\: \frac{\partial^2\: w}{\partial x\;\partial y}\:. \end{aligned}$$
(2)
Die Extremalspannungen an Plattenober‐ oder -unterseite ergeben sich aus wobei das Widerstandsmoment \(W=h^2/6\) ist. Bei rotationssymmetrisch belasteten Kreisplatten wird \(w=w(r)\), und Gl. (1) geht in die gewöhnliche Euler’sche Differentialgleichung
$$\sigma_{x}=\frac{M_{x}}{W}\:,\quad\sigma_{y}=\frac{M_{y}}{W}\:,\quad\tau=\frac{M_{xy}}{W}\:,$$
(3)
$$w^{\prime\prime\prime\prime} (r)+{\frac{2}{ r}}\;w^{\prime\prime\prime} (r)-{\frac{1}{ r^2}}\;w^{\prime\prime}(r) +{\frac{1}{ r^3}}\;w^\prime(r)={\frac{p(r)}{ N}}$$
(4)