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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Gödels Doktorarbeit, 1928–30: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls

verfasst von : William D. Brewer

Erschienen in: Kurt Gödel

Verlag: Springer International Publishing

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Zusammenfassung

Der genaue Zeitpunkt, an dem sich Kurt Gödel für ein Dissertationsthema entschied und mit dem Verfassen seiner Dissertation begann, ist nicht bekannt – ebenso wenig, ob sein Mentor Hans Hahn oder ein anderer seiner Wiener Zeitgenossen auf ihn eingewirkt haben. Es ist jedoch sehr wahrscheinlich, aus seinen Antworten auf den Grandjean-Fragebogen, seinem Briefwechsel mit Hao Wang, Notizen in seinem Nachlass und der Einleitung zu seiner Dissertation, dass seine Themenwahl von Brouwers Vorlesungen in Wien im März 1928 und von seinen Lektüren von Russell und Whitehead (1910–13) (PM) und von Hilbert und Ackermann (1928) (HA) im Jahr 1928 und Anfang 1929 beeinflusst wurde. Vermutlich spielten auch seine Kontakte mit Rudolf Carnap eine Rolle: nicht nur Carnaps Seminar über die Grundlagen der theoretischen Logik, das er 1928/29 anbot und das Gödel besuchte, sondern auch ihre vielen Diskussionen über mathematische Logik, die 1927 begannen und in Carnaps Tagebüchern dokumentiert sind.

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Budiansky (2021), S. 117 meint, dass Gödel die Dissertation „etwa im Februar“ zu Hahn gebracht hat; aber angesichts seiner vielen Verpflichtungen um diese Zeit ist es eher plausibel, dass er sie Hahn – der sie nicht vorher gesehen hatte – erst im Mai oder Anfang Juni gegeben hat. Wahrscheinlich las Gödel den Text von Hilberts Beitrag zur Bologna-Konferenz auch nur nachdem er seine Dissertation geschrieben hatte, als die gedruckten Tagungsberichten 1929 erschienen waren. Er hatte selbst nicht an der Konferenz teilgenommen, und Hilberts Arbeit spielte wohl keine Rolle in seiner Dissertation.

‘Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel’. Stephen Budiansky, W.W. Norton/Oxford Univ. Press/Ullstein, 2021. ISBN 978-0-19-886633-6. Siehe Ref. 45 in Anhang B: [Budiansky (2021)].

Menger (1994).

Carnap (1963).

In den Erinnerungen von William Miller zitiert; siehe Life Magazine, 2. Mai 1955.

Aus ‘The Feynman Lectures on Physics’, Band 1–2.

Feferman (1998).

Strauss (1982), S. 422.

Vgl. Wang (1987) and (1997); Dawson (1997, Auflage von 2005); Hintikka (1999; Auflage von 2000).

Im Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel: ‘The Emergence of first-Order Logic’, von William Ewald (2018), im Internet zugänglich.

Zitiert aus [van Atten und Kennedy (2009)], die wiederum aus der Übersetzung von van Heijenoort (1967), S. 48 zitieren.

Zitiert von Wang (1987), S. 271, aus einem Brief, dem ihm Gödel Dezember 1967 schrieb.

Es gibt in der Literatur einige Verwirrung bzgl. des Datums dieser Arbeit von Skolem. Sie wurde als Vortrag 1922 bei einer Konferenz gehalten, und 1923 im Tagungsband dazu erstmal veröffentlicht. Wir verwenden hier [Skolem (1923)], vgl. Referenzliste; Gödel nennt sie [Skolem (1922)].

Dawson 1997, op. cit., S. 60 ff.

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols. Diese Liste findet sich auf Wikipedia in 17 Sprachen, jedoch nicht auf Deutsch.

Enderton (1972).

Hintikka (1999); Ref. 16 im Anhang B.

Das Wort ‚Zählaussage‘ ist ein terminus technicus, anscheinend von Löwenheim eingeführt. In moderner Terminologie bezieht es sich auf Formeln, Sätzen, Theoremen welche der Syntax der betrachteten Sprache oder logischen System entsprechen; es kann als Vorläufer des modernen Ausdrucks ‚well-formed formula‘ (‚wohlgeförmte Formel‘, wff) betrachtet werden.

Gödel verspricht hier, in der Fußnote zum folgenden Satz, eine präzisere Definition in einem späteren Teilder Dissertation zu liefern.

Vgl. Henkin (1949). Leon Henkin hat später einen Bericht darüber geschrieben, wie er auf seinen Beweis gekommen ist, ursprünglich als Teil seiner Doktorarbeit (Princeton 1947), veröffentlicht 1949: siehe [Henkin (1996)].

Der folgende Text ist aus dem Original [Gödel (1930)] direkt zitiert.

Dies ist in der Tat ‚Königs Lemma‘, veröffentlicht 1927 von Dénes König. Als er viel später an Hao Wang schrieb, bemerkte Gödel, dass er es gar nicht kannte, als er seine Dissertation formulierte; er hat das Lemma selbst wiederentdeckt. Später dachte er, es sei ursprünglich von Gyula König gefunden, dem Vater von Dénes König, auch ein bekannter Mathematiker. Dénes König nannte den unendlichen Ast einen ‚Strahl‘ (oder ‚einfachen Weg‘).

Dies war Gyula König, der Vater von Dénes König; letzterer war tatsächlich der Autor der Arbeit von 1927, wo ‚Königs Lemma‘ eingeführt wurde. Vgl. Anmerkung [22].

Vgl. Anmerkung [13].

Zitiert von Wang (1987), S. 271. Dieses Zitat kann auch in Gödels Collected Works, Band I, S. 51 gefunden werden.

Siehe die Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel über Intuitionistic Logic, von Joan Moschovakis, 2018.

Veblen schreibt die Begriffe ‚kategorisch‘ (und ‚disjunktiv‘, für ein System, das mehr als ein Modell hat; d. h., man könnte neue Elemente oder Sätze hinzufügen ohne einen Widerspruch mit den existierenden Axiomen zuerzeugen) John Dewey zu, und er datiert diese Begriffe von Hilberts Vortrag ‚Über den Zahlbegriff‘ (Hilbert 1900).

Paul Bernays, Interview mit J.-P. Sydler und E. Clavadetscher, Bernays Nachlass, WHS, ETH Zürich, T 1285 (1977). Zitiert auch in [Zach (1999)].

Siehe Stillwell (2004), S. 5. Stillwell hat eine Kopie der Postkarte aus Gödels Nachlass, die er von Martin Davis und John Dawson erhalten hat (vgl. S. 14 im Artikel von Stillwell).

Bernays 1917–1926: ‚Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalkuls der “Principia Mathematica”‘. Paul Bernays, in: Mathematische Zeitschrift, Band 25 (1926), S. 305–320. Basiert auf seiner Habilitationsschrift, Göttingen 1918.

Budiansky 2021: Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel. Stephen Budiansky, W.W. Norton/Oxford Univ. Press/Ullstein (2021). ISBN: 978-1-324-00544-5.

Call 2013: The compactness Theorem and Applications, Ben Call, Aufsatz für ein REU (Research Experience for Undergraduates), University of Chicago, Math. Dept. (2013). Im Internet bei: https://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Call.pdf.

Carnap 1963: ‘The Philosophy of Rudolf Carnap’. Hrsg. Paul Arthur Schilpp, Band XI der Library of Living Philosophers. Open Court Publishing, Peru IL (1963). Wiederaufgelegt 1997.

Chang u. Keisler 1973: ‘Model Theory’, Chen Chung Chang and H. Jerome Keisler, Elsevier Science, Amsterdam (1973), (1992), ISBN 0-444-88054-2.

Dawson 1997: Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. John W. Dawson, Jr., Taylor & Francis; Auflage CRC Press (2005). ISBN 1-568-8-1256-6. [Deutsche Version (ISBN-13: 978-067-1-73335-3), Übersetzer J. Kellner, Springer 1999].

Enderton 1972: ’A Mathematical Introduction to Logic’, Herbert B. Enderton, Harcourt/Academic Press, Burlington/MA (1972, 2001), ISBN 0-12-238452-0.

Ewald 2018: ‘The Emergence of first Order Logic’, William B. Ewald, Artikel beim Stanford Encyclopedia of Philosophy, im Internet bei: https://plato.stanford.edu/entries/logic-firstorder-emergence/.

Feferman 1998: ‘In the Light of Logic’. Solomon Feferman, Oxford University Press, NY/Oxford (1998). ISBN 0-19-5-08030-0. Siehe Anhang B, Ref. 15.

Gödel 1929: Dissertation, ‚Uber die Vollstandigkeit des Logikkalkuls‘. Kurt Gödel, eingereicht zur Philosophiscen Fakultät der Universität Wien, September, 1929. Nicht veröffentlicht während Gödels Lebenszeit. Wiederhergestellt aus dem Exemplar in den Archiven der Universität Wien, in Gödels Collected Works, Band I, S. 60–101 (einschließlich Englische Übersetzung von Stefan Bauer-Mengelberg u. Jean van Heijenoort).

Gödel 1930: ‚Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls‘. Kurt Gödel, in: Monatshefte für Mathematik und Physik, Band 37 (1930), S. 349–360. Siehe auch Anhang A.

Gödel 1931: ‚Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I‘. Kurt Gödel, in: Monatshefte für Mathematik und Physik, Band 38 (1931), S. 173–198.

Gödel 1940: ‘The consistency of the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory’. Kurt Gödel, in: Annals of Mathematics Studies, Nr. 3, Princeton University Press, Princeton (1940). Basiert auf Vorlesungsnotizen von George W. Brown aus Gödels (1938) Vorträge am IAS. Gödel [1940] in den Collected Works, Band II.

Grzegorczyk 1962: ‘On the Concept of Categoricity’. Andrzej Grzegorczyk, in: Studia Logica, T. 13 (1962), S. 39–66.

Henkin 1949: ‘The Completeness of the First-Order Functional Calculus’. Leon Henkin, in: The Journal of Symbolic Logic, Band 14, Nr. 3 (1949), S. 159–166.

Henkin 1996: ‘The Discovery of my Completeness Proofs’. Leon Henkin, in: the Bulletin of Symbolic Logic, Band 2, Heft 2 (Juni 1996), S. 127–158.

Hilbert 1890: ‚Über die Theorie der algebraischen Formen‘. David Hilbert, in: Mathematische Annalen, Band 36 (1890), S. 473–534.

Hilbert 1900: ‚Über den Zahlbegriff ‘. David Hilbert, in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band 8 (1900), S. 180–183.

Hilbert u. Ackermann 1928: Grundzüge der theoretischen Logik (HA). David Hilbert und Wilhelm Ackermann. Springer-Verlag, Heidelberg/Berlin (1928). Wiederaufgelegt 1959. Englische Übersetzung: Principles of Mathematical Logic, Hilbert u. Ackermann, Übers. L.M. Hammond, G.G. Leckie, und F. Steinhardt. AMS Chelsea Publishing, Providence RI (1999). ISBN 978-0-8218-2024-7.

Hintikka 1999: On Gödel. Jaakko Hintikka, Wadsworth, Belmont/CA (2000). ISBN 0-534-57595-1. Vgl. Ref. 16 in Anhang B.

Kennedy, J.C 2011: Buchkapitel: ‘Gödel’s Thesis. An Appreciation’, Juliette C. Kennedy, in: ‘Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics’, Hrsg. Matthias Baaz et al., Cambridge University Press, im Internet 2011 veröffentlicht. ISBN: 978-0-51197-423-6.

Löwenheim 1915: ‚Über Möglichkeiten im Relativkalkül‘. L. Löwenheim, in: Mathematische Annalen, Band 76 (1915), S. 447–470. Englische Übersetzung in [van Heijenoort (1967)].

Mal’cev 1936: siehe The metamathematics of algebraic systems, collected papers:1936–1967 von Anatoly I. Mal’cev, Amsterdam, North-Holland Pub. Co., 1971, ISBN 0-7204-2266-3. [Merke: der Name dieses Autors wird oft als ‘Maltsev’ oder ‘Malzew’ anstatt ‘Mal’cev’ transkribiert].

Menger 1994: Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium, Karl Menger, Kluwer (1994). Wiederaufgelegt 2013: Vienna Circle Collection: Series Editors Henk L. Mulder, Robert S. Cohen, Brian McGuinness, Rudolf Haller. Springer Netherlands (2013). Kindle-Version, ISBN 978-94-011-1102-7.

Post 1921: ‘Introduction to a General Theory of Elementary Propositions’. Emil Leon Post, in: The American Journal of Mathematics. Band 43, Nr. 3 (1921), S. 163–185.

Quine 1938: ‘Completeness of the propositional calculus’. Willard Van Orman Quine, in: The Journal of Symbolic Logic, Band 3 (1938), S. 37–40.

Robinson 1950: ‘An Essentially Undecidable Axiom System’. R.M. Robinson, in den Proceedings of the International Congress of Mathematics (1950) veröffentlicht, S. 729–730.

Russell u. Whitehead 1910–13: Principia Mathematica (PM). Alfred North Whitehead und Bertrand Russell, Cambridge University Press, Cambridge/UK. Drei Bände: (1910), (1912), (1913).

Sieg 1999: ‘Hilbert’s Programs: 1917–1922’. Wilfried Sieg, in: The Bulletin of Symbolic Logic, Band 5, Nr. 1 (March 1999), S. 1–44.

Skolem 1923: ‚Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre‘. T.A. Skolem, in: Matematikerkongressen in Helsingfors 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviske matematiker-kongressen. Proceedings: Redogörelse, S. 217–232, veröffentlicht 1923.

Skolem 1970: ‘T.A. Skolem, Selected works in logic’, Hrsg. J.E. Fenstad, Scandinavian University Books, Oslo (1970). [Enthält 22 Artikeln auf Deutsch, 26 auf Englisch, 2 auf Französisch, 1 Englische Übersetzung eines Artikels, der ursprünglich auf Norwegisch erschien, sowie eine vollständige Bibliographie].

Stillwell 2004: ‘Emil Post and His Anticipation of Gödel and Turing’. John Stillwell, in: Mathematics Magazine, Band 77, Nr. 1 (February 2004), S. 3–14.

Strauss 1982: ‘Reminiscences’. Ernst G. Strauss, in ‘Albert Einstein: Historical and Cultural Perspectives. The Centennial Symposium in Jerusalem’, Hrsg. G. Holton und Y. Elkana, Princeton University Press, Princeton (1982) S. 422. Zitiert in [Feferman (1998)].

van Atten u. Kennedy 2009: Buchkapitel: ‘Gödel’s Logic’, Mark van Atten und Juliette C. Kennedy, im Handbook of the History of Logic, Band 5, Hrsg. Dov M. Gabbay und John Woods, Elsevier B.V., Amsterdam (2009). ISBN: 978-0-444-51620-6.

van Heijenoort (Hrsg.) 1967: ‘From Frege to Gödel: A sourcebook in mathematical logic, 1879–1931’. Jean van Heijenoort, Herausgeber, Harvard University Press, Cambridge MA (1967).

Veblen 1904: ‘A System of Axioms for Geometry’, Oswald Veblen, in: Transactions of the American Mathematical Society, Band 5, Nr. 3 (1904), S. 343–384.

Wang 1981: ‘Some Facts about Kurt Gödel’. Hao Wang, in: the Journal of Symbolic Logic, Band 46, Nr. 3 (1981), S. 653–659.

Wang 1987: Reflections on Kurt Gödel, Hao Wang. MIT Press (1987). ISBN 978 0 26223 127-5.

Wang 1997: A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, Hao Wang. Bradford Books (1997) (MIT Press). ISBN 0-262-2-61251.

Zach 1999: ‘Completeness Before Post: Bernays, Hilbert, and the Development of Propositional Logic’. Richard Zach, in: The Bulletin of Symbolic Logic, Band 5, Heft 1 (Sept. 1999), S. 331–366.

Titel: Gödels Doktorarbeit, 1928–30: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls
verfasst von: William D. Brewer
Verlag: Springer International Publishing
Buch: Kurt Gödel
Print ISBN: 978-3-031-43150-0

Electronic ISBN: 978-3-031-43151-7

Copyright-Jahr: 2024
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-43151-7_7

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