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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

14. Hilbert’s Tenth Problem

verfasst von : David Marker

Erschienen in: An Invitation to Mathematical Logic

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

We discus parts of the negative solution to Hilbert’s tenth Problem, showing that there is no algorithm to decide if a Diophantine equation has an integer solution.

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Fußnoten
1
Kreisel, in his review [55] of [14], expressed skepticism that one could reduce all questions about Diophantine equations to ones of a bounded degree and thought this was evidence their program would fail.
 
2
Our usual pairing function \(\pi (x,y)=2^x(2y+1)-1\) is also Diophantine. But it is not obvious that this is true until we know \(y=2^x\) is Diophantine.
 
Literatur
14.
Davis, M., Putnam, H., Robinson, J.: The decision problem for exponential diophantine equations. Ann. Math. (2) 74, 425–436 (1961)
22.
Everest, G., Ward, T.: An Introduction to Number Theory. Graduate Texts in Mathematics, 232. Springer, London (2005)
52.
Koenigsmann, J.: Defining \({\mathbb Z}\) in \({\mathbb Q}\). Ann. Math. (2) 183(1), 73–93 (2016)
55.
Kreisel, G.: Review of Davis, Putnam, Robinson [Davis, M., Putnam, H., Robinson, J.: The decision problem for exponential diophantine equations. Ann. Math. (2) 74, 425–436 (1961)]. Math. Rev. MR0133227 (1961)
68.
Matiyasevich, Y.: The Diophantineness of enumerable sets. Dokl. Akad. Nauk SSSR 191, 279–282 (1970)MathSciNet
72.
Murty, R., Fodden, B.: Hilbert’s Tenth Problem. An Introduction to Logic, Number Theory, and Computability. Student Mathematical Library, 88. American Mathematical Society, Providence (2019)
78.
Poonen, B.: Undecidability in number theory. Notices Am. Math. Soc. 55(3), 344–350 (2008)MathSciNet
Metadaten
Titel
Hilbert’s Tenth Problem
verfasst von
David Marker
Copyright-Jahr
2024
Buch
An Invitation to Mathematical Logic

Print ISBN: 978-3-031-55367-7

Electronic ISBN: 978-3-031-55368-4

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-55368-4_14

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