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Erschienen in:
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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

17. Zufallselemente in separablen Hilberträumen

verfasst von : Norbert Henze

Erschienen in: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Thema dieses Kapitels sind Zufallselemente mit Werten in einem separablen Hilbertraum. Zunächst wird geklärt, wann der Erwartungswert eines hilbertraumwertigen Zufallselementes X existiert, wobei ein Abriss des Bochner-Integrals erfolgt. Ist die Norm von X quadratisch integrierbar, so existiert auch der Kovarianzoperator von X. Unter gewissen Voraussetzungen können quadratisch integrierbare stochastische Prozesse als hilbertraumwertige Zufallselemente angesehen werden. In diesem Fall sind der Erwartungswert und der Kovarianzoperator durch die Erwartungswert- bzw. durch die Kovarianzfunktion gegeben. Nach Einführung des charakteristischen Funktionals wird die Normalverteilung im Hilbertraum definiert, und es wird die Existenz von Normalverteilungen nachgewiesen. Weitere Themen sind ein Kriterium für Verteilungskonvergenz sowie ein zentraler Grenzwertsatz für Dreiecksschemata stochastisch unabhängiger hilbertraumwertiger Zufalls-elemente. Das Kapitel schließt mit einer statistischen Anwendung, wobei gewichtete -Statistiken thematisiert werden.

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Fußnoten
1
Marc-Antoine Parseval (1755–1836), französischer Mathematiker, der für die nach ihm benannte Parseval’sche Gleichung bekannt wurde.
 
2
Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), Astronom, Mathematiker, Geodät und Physiker, ab 1810 Professor für Astronomie an der Univ. Königsberg. Die nach ihm benannten Bessel-Funktionen ermöglichen eine mathematische Beschreibung vieler physikalischer Phänomene. Ungleichung (17.4) bewies er 1828 im Spezialfall von Fourierreihen.
 
3
Frigyes Riesz (1880–1956), ungarischer Mathematiker, 1911 Berufung auf einen Lehrstuhl an der Universität Klausenburg. Riesz war einer der Begründer der Funktionalanalysis. Zusammen mit Alfréd Haar gründete er 1922 das János-Bolyai-Institut für Mathematik. Ab 1945 war er Professor in Budapest.
 
4
Salomon Bochner (1899–1982), wuchs in der Nähe von Krakau auf, 1921 Promotion bei E. Schmidt (Univ. Berlin), 1927 Habilitation (Univ. München); nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten Emigration in die USA, 1934–1968 Professor an der Princeton Univ., nach der Emeritierung Professor an der Rice Univ. in Houston. Hauptarbeitsgebiete: Fastperiodische Funktionen, Fourier-Theorie, Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, Differentialgeometrie.
 
Metadaten
Titel
Zufallselemente in separablen Hilberträumen
verfasst von
Norbert Henze
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

Print ISBN: 978-3-662-68445-0

Electronic ISBN: 978-3-662-68446-7

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68446-7_17