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Erschienen in:

2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Die Schrödinger-Gleichung

verfasst von : Marcus Elstner

Erschienen in: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Die Quanteneigenschaften des Lichts, wie in Abschn.

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Es gibt auch relativistische Gleichungen, und die sind in der Chemie durchaus relevant. Schwere Atome, hier ist die Anziehung der Elektronen durch die hohe Kernladungszahl so groß, dass sich die Elektronen so schnell bewegen, dass relativistische Effekte relevant werden. Dies geht jedoch über Fokus dieser Einführung hinaus, und ist daher nicht Thema dieses Buches.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Gleichung zu motivieren, keine stellt eine exakte Ableitung dar.

Um die Ableitungen von der klassischen kinetischen Energie zu unterscheiden, verwenden wir hier den ‚Hut‘ auf T.

Was ja bei der freien Schrödinger-Gleichung schon durch die kinetische Energie T der Fall ist.

So erlaubt die Diffusionsgleichung keine Wellenlösung, die Multiplikation mit ‚i‘ ermöglicht genau das.

In Kap. 12 werden wir diese Relation ableiten, und dessen Bedeutung in Kap. 13 genauer diskutieren.

Mit \(\sigma _x = \Delta x\), \(\hbar \sigma _k = \Delta p\).

Siehe die Einführung der ebenen Wellen in Gl. 2.7.

Eine mathematische Beschreibung finden Sie in Abschn. 12.3.1 und 20.3.1.

Es gibt einen signifikanten Unterschied: Die Diffusionsgleichung hat keine Wellenlösungen (\(\sin /\cos /\exp (\mathrm {i}(kx-\omega t))\)), d. h., das Phänomen der Interferenz taucht nicht auf. Wenn eine Anfangsverteilung c(x, t) durch einen Doppelspalt laufen würde, gäbe es keine Auslöschung von Wellenzügen. Dies sollte auch nicht sein, denn c(x, t) beschreibt eine klassische Materieverteilung, und diese sollte sich nicht auslöschen können.

Wir vernachlässigen hier die schwache Zeitabhängigkeit der Amplitude, um den Sachverhalt klarer herauszuarbeiten.

M. Born., Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Zeitschrift für Physik 37, 863.

\(\boldsymbol{r}=(x,y,z)\) ist der Ortsvektor bei der Darstellung in drei Dimensionen, \(\mathrm {d}^3\boldsymbol{r}\) dann ein Volumenelement.

M. Born, Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Zeitschrift für Physik 37, 803.

Siehe Abschn. 6.2.3.

So ‚leitet‘ die Wellenfunktion beispielsweise beim Doppelspaltexperiment in Abb. 3.7 die Teilchen derart, dass sie in der Summe die dargestellte Häufigkeitsverteilung am Schirm reproduzieren.

D. Bohm, Quantum Theory, Prentice Hall 1995. Weiter schreibt er: ‚In fact, quantum theory requires us to give up the idea that the electron, or any other object has, by itself, any intrinsic properties at all. Instead, each object should be regarded as something containing only incompletely defined potentialities that are developed when the object interacts with an appropriate system.‘

Wir wollen in diesem Kapitel wieder nur die x-Koordinate betrachten, und nicht den Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\), um die Formeln einfach zu halten.

In der Thermodynamik ist der Zustand durch (p, V), gegeben, andere Größen lassen sich als Funktionen f(p, V) darstellen, als etwa T(p, V), U(p, V), S(p, V) (Zustandsfunktionen!).

Diese könnte man auch über eine Fourier-Transformation ausrechnen, betrachten Sie dazu nochmals Gl. 4.13 und 4.14. a(k) ist die Fourier-Transformierte von \(\Psi (x)\), und mit der Ersetzungsregel für den Impuls erhält man aus a(k) genau eine Verteilungsfunktion für die Impulse.

Mehr zur Zeitabhängigkeit finden Sie in Abschn. 20.2.

Der Index \({\rho }\) bedeutet dabei, dass der Mittelwert bezüglich einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt wurde. Diese muss vorher bekannt sein und bezieht sich auf die Gruppe, für die diese bestimmt wurde.

Titel: Die Schrödinger-Gleichung
verfasst von: Marcus Elstner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie
Print ISBN: 978-3-662-61461-7

Electronic ISBN: 978-3-662-61462-4

Copyright-Jahr: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61462-4_4

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