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Erschienen in:

2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

20. Formalismus III

verfasst von : Marcus Elstner

Erschienen in: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Erwartungswerte Ist ein Zustand \(\Psi \) durch eine Superposition dargestellt wie in Gl. 12.5, ist das Ergebnis einer Messung kein Eigenwert \(O_n\) des entsprechenden Operators. Man erhält eine Verteilung wie in Abb. 12.2b dargestellt, die wie eine klassische statistische Verteilung von Messwerten aussieht.

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Wir diskutieren das Beispiel der Ankopplung an ein elektromagnetisches Feld in Kap. 33.

Den Bahndrehimpuls haben wir noch als Operator definiert, dessen Eigenfunktionen als Funktionen der Koordinaten \(\Phi (x,y,z)\) dargestellt sind (Abschn. 10.2), denn es handelt sich um eine Drehbewegung im Raum, die durch die Koordinaten (x, y, z) beschrieben werden kann. Die Spinfunktion \(\sigma \) ist aber nicht von den kartesischen Koordinaten abhängig (Abschn. 18.2.3). Hier haben wir nur eine abstrakte Darstellung finden können.

Ein Beispiel für eine solche Superposition haben wir schon für die Bahndrehimpulse des Wasserstoffatoms in Abschn. 11.5 gesehen, die reellen Orbitale haben wir durch eine zu Gl. 20.1 analoge Kombination erhalten.

Man kann auch statistische Gemische von Teilchen mit verschiedenen Spinausrichtungen beschreiben, dazu benötigt man den sogenannten Dichteoperatorformalismus, den wir hier nicht einführen wollen.

Diese Richtung hängt offensichtlich von der Inhomogenität \( \frac{\mathrm {d}B_z}{\mathrm {d}z}\) ab.

Das experimentelle Ergebnis in Abb. 18.4 zeigt noch eine Verteilung in x-Richtung, die durch den experimentellen Aufbau bedingt ist. Wir wollen hier nur auf die Aufspaltung in z-Richtung fokussieren.

\(-A\): ‚nicht-A‘.

In Kap. 21 werden wir diese Schwierigkeiten diskutieren:

Die Messung von \(O_n\) bedeutet nicht, dass das System vor der Messung im Zustand \(\Phi _n\) war.
Wenn die Messung die Zerstörung des Zustands bedeutet, das Teilchen wird absorbiert, dann kann man auch nicht die Gegenwartsform verwenden.
Und es ist gar nicht so klar, was ‚messen‘ bedeutet. Jedenfalls nicht nur das Durchlaufen eines Messgeräts wie in Kap. 21 und 29 deutlich wird.

Hinter der Unmöglichkeit dieser Implikation steckt also nicht nur ein logisches Problem.

Aus diesem Grund wird heute vielfach dieses Postulat, das auch Projektionspostulat genannt wird, kritisch gesehen. Der Stern-Gerlach Versuch, vermeintlich die einfachste Realisierung dieses Typs von Messung, hat es also in sich. Eine kritische Diskussion findet man z. B. in M.J.R. Gilton, Whence the eigenstate-eigenvalue link? Studies in History and Philosophy of Modern Physics 55 (2016) 92.

Dass das Teilchen absorbiert wird ist entscheidend, wie wir in Kap. 21 diskutieren werden.

Dies liegt an einer bestimmten Eigenschafte der Schrödinger-Dynamik, die unitär genannt wird. Man kann also aus rein theoretischen Überlegungen zeigen, dass der Kollaps nie aus der Dynamik I resultieren kann.

Betrachten Sie auch nochmals das Beispiel in Abb. 12.6: Man kann nur die Wahrscheinlichkeit \(|a_n|^2\) angeben, in welche Richtung das Teilchen nach Öffnung des Kastens fliegen wird, dies sind objektive Wahrscheinlichkeiten.

Also z. B. durch den Verweis auf Trajektorien, wie in der kinetischen Gastheorie (Abschn. 5.2.3) prinzipiell möglich.

Ebenso kann man den Imaginärteil darstellen. Beide Teile für sich haben keine physikalische Bedeutung, sondern nur die oben diskutierten Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte, die reell sind.

Hierzu benötigt man die Kommutatoren \([\hat{H},\hat{x}] = - \frac{\mathrm {i}\hbar \hat{p}}{m}\) und \([\hat{H},\hat{p}] = \mathrm {i}\hbar \nabla V\).

Siehe z. B. Wikipedia Einträge zu Zeit oder [45].

Robinett, Am. J. Phys. 68 (2000) 410.

Styer, Am. J. Phys. 69 (2001), 56, Timberlake & Camp, Am. J. Phys. 79 (2010) 607.

Es gibt zwei weitere charakteristische Zeiten der Bewegung: Eine davon ist die Periode, mit der ein klassisches Teilchen zwischen den Wänden hin- und herfliegen würde. Die Dynamik des Wellenpakets weicht davon ab, wiederum abhängig von seiner Zusammensetzung.

Siehe z. B. H. Haken, H. C. Wolf, Atom- und Quantenphysik, Springer 2004, Kap. 14.

Dazu stellen Sie den Zustand \(\alpha ^z\) nach Gl. 20.1 als Superposition von \(\alpha ^x\) und \(\beta ^x\) dar, und werten das Integral aus.

Titel: Formalismus III
verfasst von: Marcus Elstner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie
Print ISBN: 978-3-662-61461-7

Electronic ISBN: 978-3-662-61462-4

Copyright-Jahr: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61462-4_20

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