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Erschienen in:

2023 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Grundlegender Hintergrund

verfasst von : Riccardo Bassoli, Holger Boche, Christian Deppe, Roberto Ferrara, Frank H. P. Fitzek, Gisbert Janssen, Sajad Saeedinaeeni

Erschienen in: Quantenkommunikationsnetze

Verlag: Springer International Publishing

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Zusammenfassung

Von Anfang an (und auch heute noch) stützt sich die Telekommunikationstheorie auf die klassische Physik und die Regeln der klassischen Systeme. Tatsächlich gehorcht die Telekommunikation jedoch den allgemeineren Postulaten und Gesetzen der Quantenmechanik. Um die Vorteile der Quantenmechanik für die Telekommunikation vollständig zu verstehen, ist es wichtig, sich zunächst mit den grundlegenden Definitionen und Theorien dieses Bereichs der Physik zu befassen. In diesem Kapitel werden Präliminarien, Notationen und Terminologien der Quantenmechanik besprochen, welche für das Verständnis der Theorie der Quantenkommunikationsnetze von zentraler Bedeutung sind. Diese Inhalte werden eingeführt und erläutert und eignen sich für den Leser mit einem Hintergrund in Physik oder Ingenieurwesen. Beginnend mit der Dirac-Notation, reinen Systemen, zusammengesetzten Systemen, Dichtematrizen, Verschränkung und Quantenmessungsmodellen geht die Diskussion weiter zu Quantenkanälen, statistischer Theorie und Quantenentropie. Schließlich wird das Konzept der Quanten-Nichtlokalität und seine Verbindung zu kooperativen Spielen in der Quantenspieltheorie erklärt.

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Nicht zu verwechseln mit der klassischen Quantisierung eines Signals, bei der es sich um eine Diskretisierung der Werte eines kontinuierlichen Signals handelt, die normalerweise nach der Abtastung erfolgt.

Ein linearer Operator zwischen den Vektorräumen V und W ist definiert als eine beliebige Funktion A :V → W, die linear in ihren Eingaben ist, so dass \( A\left(\sum \limits_i{a}_i|{v}_i\Big\rangle \right)=\sum \limits_i{a}_iA\left(|{v}_i\Big\rangle \right) \), wobei A(|v〉) auch als A|v〉 geschrieben werden kann. Wenn ein linearer Operator auf einem einzelnen Vektorraum definiert ist, bedeutet dies A :V → V. Zwei wichtige Beispiele sind der Identitätsoperator I_V |v〉≡|v〉 und der Nulloperator 0|v〉≡ 0. Eine m × n komplexe Matrix A ist ein linearer Operator A : ℂⁿ → ℂ^m, unter der Matrixmultiplikation der Matrix A mit einem Vektor in ℂⁿ.

Im Gegensatz dazu ist in der Standardschreibweise der Adjungierte der einzige lineare Operator, so dass der einzige lineare Operator A^† auf V (v, Aw) = (A^† v, w) ist. Die hermitesche Konjugation in endlichen Dimensionen und die Matrixdarstellung sind auf komplexe Konjugation und Transposition reduziert.

Eine analytische Funktion f(A) ist eine Funktion, die als konvergente Reihe geschrieben werden kann f(A) = ∑ f_nAⁿ. Dank der Existenz einer spektralen Zerlegung von hermiteschen Operatoren A =∑_i a_i P_i, haben wir \( {A}^n=\sum \limits_i{a}_i^n{P}_i \), und dies impliziert \( f(A)=\sum {f}_n{A}^n=\sum \limits_if\left({a}_i\right){P}_i \).

Die Spur einer quadratischen Matrix ist definiert als die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen und ist unabhängig von einer Änderung der Orthonormalbasis.

Die Varianz ΔX² einer Beobachtungsgröße X ist selbst in der Regel als Erwartungswert (X − 〈X〉)² definiert, wobei einfach die Quantendefinition des Erwartungswertes verwendet wird. (X − 〈X〉)² ist selbst eine Quantenbeobachtungsgröße, wobei 〈X〉 einfach die konstante Beobachtungsgröße 〈X〉 \( \mathbbm{1} \) ist.

Ein Universalkopierer ist ein Gerät, das jeden beliebigen Eingabequantenzustand kopieren kann.

Gegeben sei ein k-dimensionaler Unterraum W des d-dimensionalen Vektorraums V. Mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens ist es möglich, eine orthonormale Basis |1〉, …, |d〉 für V zu konstruieren, so dass |1〉, …, |k〉 eine orthonormale Basis für W ist. \( \mathcal{P}\equiv \sum \limits_{i=1}^k\mid i\left\rangle \right\langle i\mid \) ist dann der Projektor auf den Unterraum W. Orthogonale Projektoren sind eine wichtige Klasse von hermitschen Operatoren in der Quantentheorie.

Der Leser mag mit einem etwas eingeschränkten Modell besser vertraut sein. Die traditionelle (Kolmogorov) Wahrscheinlichkeit betrachtet die Indikatorfunktionen 1_A (für alle A ⊂ Ω), die eine echte Teilmenge von ℰ(Ω) bildet. Es ist jedoch zu beachten, dass diese für nichttriviale Ω keine konvexe Menge darstellt (vgl. den folgenden Abschnitt).

Gegeben eine Matrix A, \( \mid A\mid =\sqrt{A^{\dagger }A} \).

Ein Polytop ist die konvexe Hülle einer endlichen Menge von Punkten auf ℝⁿ. Die kleinste konvexe Menge, die eine Punktmenge A ∈ ℝⁿ enthält, nennt man die konvexe Hülle von A.

Bei einem kooperativen Spiel werden die kollektiven Auszahlungen von Koalitionen von Spielern unter Anwendung gemeinsamer Züge/Strategien bewertet. Ein nicht-kooperatives Spiel hingegen besteht aus einzelnen Spielern mit ihren eigenen Zügen/Strategien und Auszahlungsfunktionen, die über Nash-Gleichgewichte bewertet werden.

Bei der klassischen Kommunikation ist es wichtig, zwischen deterministischen (festen) und randomisierten Codes zu unterscheiden. Letztere berücksichtigen die gemeinsame Zufälligkeit von Quelle und Ziel, die eine gemeinsame Randomisierung des Codierer-Decodierer-Paares ermöglicht. Während dies keinen Einfluss auf die Kapazität hat, kann eine solche gemeinsame Zufälligkeit die Kanalkapazität verbessern, wenn das Kanalmodell nicht deterministisch ist (z. B. bei nachteiliger Kommunikation, bei der ein böswilliger Knoten Störgeräusche einfügt, um die Kommunikation zu stören). Wenn die gemeinsame Zufälligkeit zunimmt, ist der maximal erreichbare Durchsatz gleich der randomisierten Kodierungskapazität. Der Unterschied zwischen der randomisierten und der deterministischen Kodierungskapazität misst also den maximalen Preis, der für die Übertragungsrate zu zahlen ist, wenn die Kommunikationsparteien keine klassische Zufälligkeit teilen [BBJ19, DJLS13].

Eine solche Aussage bezieht sich auf messbare Größen, die nur reproduziert werden können. Betrachten wir ein Experiment, das Ergebnisse in einer bestimmten Menge liefert. Wir können uns das Experiment als Vorbereitung eines Zustands und Messung einer Beobachtungsgröße X mit einem bestimmten Spektrum vorstellen. Wenn das Experiment einen Nicht-Eigenzustand misst und einen bestimmten Wert x ausgibt, können wir nicht sagen, dass wir X gemessen haben, da eine erneute Durchführung genau derselben Aktionen des Experiments andere Ergebnisse liefert. Daher kann ein einzelnes Ergebnis nicht als aussagekräftige Messung angesehen werden. Die einzige reproduzierbare Messung ist der Erwartungswert, der über viele Durchläufe des Experiments geschätzt wurde, und dieser Wert wird sich (mit einer gewissen Genauigkeit) nicht ändern, wenn wir den Schätzprozess wiederholen.

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Titel: Grundlegender Hintergrund
verfasst von: Riccardo Bassoli
Holger Boche
Christian Deppe
Roberto Ferrara
Frank H. P. Fitzek
Gisbert Janssen
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Print ISBN: 978-3-031-26325-5

Electronic ISBN: 978-3-031-26326-2

Copyright-Jahr: 2023
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-26326-2_2

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