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Erschienen in:

2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

22. Zwei Elektronen: Produktansatz für die Wellenfunktion

verfasst von : Marcus Elstner

Erschienen in: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Am Heliumatom kann man beispielhaft zeigen, welche methodischen Schwierigkeiten auftreten, wenn mehrere Elektronen in einem System miteinander wechselwirken.

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Für das rechtwinklige Problem des Kastenpotenzials in drei Dimensionen (Kap. 10) haben wir kartesische Koordinaten verwendet und einen Separationsansatz machen können, für das kugelsymmetrische Problem benötigen wir Kugelkoordinaten, für die Rotation in zwei Dimensionen (Kap. 9) führen Polarkoordinaten auf einen Produktansatz.

Im klassischen Fall kann man mit Methoden der Störungstheorie sehr gut die Wechselwirkung der Planeten untereinander berücksichtigen, und so die beobachteten Abweichungen von dem Fall berechnen, in dem nur die Gravitationsanziehung der Sonne, wie oben angemerkt, berücksichtigt wird.

Während man bei den Planetenbahnen offensichtlich die gegenseitige Anziehung als kleine Störung betrachten kann, geht das bei der Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen nicht. Diese ist, im Verhältnis zu den Abständen, wesentlich stärker als die Gravitationswechselwirkung.

Wenn viele besetzte Orbitale im Molekül vorhanden sind, ist die gesamte Elektronendichte die Summe über alle Orbitale, d. h.

$$\rho (\boldsymbol{r}) = \sum _i \rho _i(\boldsymbol{r}) = \sum _i|\phi _i(\boldsymbol{r})|^2 . $$

Im Rahmen dieser Näherung sieht die Elektronendichte in der Tat wie eine verschmierte Ladung aus, auch wenn wir bei der Einführung der Schrödinger-Gleichung in Kap. 4 sehr darauf Wert gelegt haben, das Elektron nicht als verschmierte Ladung oder Masse zu betrachten. Siehe insbesondere Kap. 13 und 21. In der Quantenmechanik müssen wir sehr aufpassen: Wenn etwas mathematisch so aussieht, als ob es einer klassischen Situation entsprechen würde heißt das noch lange nicht, dass man es analog interpretieren kann. Dies betrifft insbesondere statistische Aussagen (Abschn. 5.2).

Titel: Zwei Elektronen: Produktansatz für die Wellenfunktion
verfasst von: Marcus Elstner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie
Print ISBN: 978-3-662-61461-7

Electronic ISBN: 978-3-662-61462-4

Copyright-Jahr: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61462-4_22

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