Modellreduktion

Bevor wir im nächsten Kapitel einige konkrete Anwendungsbeispiele vorstellen, an denen wir im weiteren Verlauf des Buchs die verschiedenen Modellreduktionsmethoden demonstrieren wollen, führen wir die hier zumeist betrachteten LZI-Systeme formal ein und geben ihre wesentlichen Eigenschaften an, eine eingehende Betrachtung findet man z. B. in [27, 112].

In diesem Kapitel betrachten wir einige Testbeispiele, die in der Literatur als Benchmarks für den Test von Modellreduktionsverfahren hergenommen werden. Diese stammen i. d. R. aus der Modellierung realer Anwendungsprobleme. Dabei entsteht die Zustandsgleichung oft aus der Diskretisierung einer zeitabhängigen partiellen Differenzialgleichung im Ort, z. B. mittels der Methode der finiten Elemente (FEM). Wir behandeln hier nur die resultierenden LZI-Systeme und deren Realisierung durch die Matrizen A,  B,  C,  D,  E, ohne dass weiteres Wissen, wie diese zustande gekommen sind, vonnöten ist. Die betrachteten Beispiele werden im MOR Wiki [124] zur Verfügung gestellt. Dort findet man auch Hinweise zu weiterer Literatur, die insbesondere die den Beispielen zugrundeliegenden Anwendungsprobleme und deren Modellierung näher beschreibt. Man findet im MOR Wiki noch eine Reihe weiterer Beispiele, wovon viele aus den beiden Beispielsammlungen der „Oberwolfach Benchmark Collection“ [83] und der „SLICOT Model Reduction Benchmark Collection“ [29] stammen. Wir haben hier eine Auswahl von prägnanten Beispielen mit unterschiedlichen Charakteristiken getroffen, um die Eigenschaften der von uns beschriebenen Methoden anhand dieser Systeme zu veranschaulichen. Zudem geben wir hier einen kleinen Einblick in den Hintergrund der Modelle. Es ist jedoch für die weitere Verwendung der Beispiele im Kontext dieses Buchs nicht erforderlich, den physikalisch-technischen Hintergrund im Detail nachvollziehen zu können.

In diesem Kapitel werden einige Grundlagen aus der (numerischen) linearen Algebra wiederholt bzw. vorgestellt. Einige Abschnitte sollten Studierenden in einem mathematisch-orientierten Masterstudiengang bekannt sein (z. B. die Abschn. 4.1, 4.4 oder 4.9), diese Abschnitte dienen vornehmlich der Einführung der im folgenden verwendeten Begriffe und der Wiederholung der wesentlichen hier benötigten Konzepte. Andere Abschnitte gehören nicht überall zum Standardstoff.

In diesem Kapitel wird der generelle Ansatz, ein reduziertes System mittels geeigneter Projektion zu erzeugen, vorgestellt. Dabei wird zunächst von dem LZI-System

In diesem Kapitel betrachten wird erneut ein LZI-System wie (2.​1), also mit \(A\in \mathbb {R}^{n\times n},\) \(B\in \mathbb {R}^{n\times m},\) \(C\in \mathbb {R}^{p\times n},\) und \(D\in \mathbb {R}^{p\times m}\). Dabei wird angenommen, dass A diagonalisierbar ist. Es existiert also eine reguläre Matrix \(S_\mathbb {C} \in \mathbb {C}^{n \times n}\) mit

Ganz allgemein werden in der System- und Regelungstheorie Systeme der Form betrachtet mit dem Zustand \(x\in \mathbb {R}^n,\) dem Eingang \(u \in \mathbb {R}^m,\) dem Ausgang \(y\in \mathbb {R}^p,\) und Funktionen \(f:\mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^m \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^n\) und \(h:\mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^m \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^p,\) also einem System von n gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung sowie p Gleichungen die den Systemausgang und z. B. Meßgrößen modellieren. Im Folgenden werden wir die Abhängigkeit des Zustands x(t) und des Ausgangs y(t) von der gewählten Steuerung u(t),  dem Anfangszeitpunkt \(t_0\) und dem Anfangszustand \(x^0\) durch die Notation \(x(t) = x(t;u,x_0,t_0)\) und \(y(t) = y(t;u,x_0,t_0)\) ausdrücken.

Ein weit verbreitetes Verfahren zur Modellreduktion linearer Systeme ist das balancierte Abschneiden. Das Verfahren geht auf [97, 99] zurück, siehe auch [1, 9, 26, 64].

Wir betrachten erneut ein LZI-System

In diesem Buch haben wir ausschließlich Modellreduktionsverfahren für lineare, zeitinvariante Systeme der Form