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Erschienen in:
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2021 | OriginalPaper | Buchkapitel

10. Kastenpotenzial und Rotationsbewegung in zwei und drei Dimensionen

verfasst von : Marcus Elstner

Erschienen in: Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Mit den eindimensionalen Problemen haben wir wichtige Konzepte eingeführt, die Welt aber, so glauben wir meist, ist dreidimensional. Ein Teilchen ist eben in einem Raum mit sechs Wänden, und in diesem Kapitel werden wir dafür die Lösungen berechnen.

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Fußnoten
1
In Bd. I haben wir eine einfache Variante, die kinetische Gastheorie, kennengelernt. Das Kastenpotenzial erlaubt eine thermodynamische Behandlung des quantenmechanischen idealen Gases.
 
2
Der leider für die Quantenchemie insgesamt nicht zutrifft: Die Schwierigkeiten der Quantenchemie bestehen genau darin, dass der Hamilton-Operator für Moleküle mit vielen Elektronen gerade nicht in eine solche Summe von Operatoren zerfällt. Und damit verbunden, dass sich die Wellenfunktion nicht als Produkt von Wellenfunktionen der einzelnen Koordinaten schreiben lässt. Dies ist das zentrale Thema von Teil V.
 
3
Da wir die Lösungen im Bereich des Kastens suchen, in dem die Potentiale verschwinden.
 
4
Im Prinzip sollte das mit Wellen in einem Schwimmbecken, welches senkrechte Wände hat, vergleichbar sein, doch dort findet man nie solch geordnete Muster. Das liegt daran, dass sich dort nie stehende Wellen ausbilden: Man findet immer laufende Wellen, und die Amplituden der Wellenzüge nehmen durch die Reibung ab. Die Eigenfunktionen dagegen sind stehende Wellen, die sich für den Fall ausbilden, dass die Kastenlänge genau ein Vielfaches der Wellenlänge ist.
 
5
\(\Delta \) ist der sogenannte Laplace-Operator.
 
6
Das ist analog zum Kastenpotenzial: Für jedes festgehaltene y beschreibt \(\phi _n(x)\) die Wellenfunktion in x-Richtung.
 
7
Siehe z. B.: http://​de.​wikipedia.​org/​wiki/​Kugelflächenfunk​tionen. Achtung: Die Funktionen sind komplexwertig, zur Darstellung kann dann nur der Realteil verwendet werden.
 
8
An der Stelle ist wichtig anzumerken, dass die Wahl der z-Achse willkürlich ist. Man kann ein beliebiges Koordinatensystem wählen, das Ergebnis ist das Gleiche: Es ist nur die Projektion auf eine der Achsen gequantelt, die Komponenten in Richtung der beiden anderen Achsen bleibt komplett unbestimmt.
 
9
Siehe nochmals die Ausführungen zu Modellen in Abschn. 3.​3. Modelle können Aspekte des Geschehens anschaulich machen, haben aber ihre Grenzen. Dies werden wir in den Kapiteln zur Interpretation genauer darstellen.
 
Metadaten
Titel
Kastenpotenzial und Rotationsbewegung in zwei und drei Dimensionen
verfasst von
Marcus Elstner
Copyright-Jahr
2021
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Physikalische Chemie II: Quantenmechanik und Spektroskopie

Print ISBN: 978-3-662-61461-7

Electronic ISBN: 978-3-662-61462-4

Copyright-Jahr: 2021

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61462-4_10

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